Determinar a dimensão e uma base para cada um os seguintes espaços vetoriais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a dimensão e encontrar uma base para o espaço vetorial . Vamos usar conceitos de espaços vetoriais, subespaços e bases para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que . Isso quer dizer que, em qualquer vetor de , o componente está sempre quatro vezes o componente . Então, podemos expressar qualquer vetor de em termos de e , já que não está restrito.
Então, podemos escrever um vetor genérico de como:
Passo 3
Agora, vamos colocar isso de uma forma que mostre como podemos gerar todos os vetores de a partir de combinações lineares. Podemos reescrever o vetor da seguinte maneira:
Aqui, e são os parâmetros livres, o que significa que eles podem ser quaisquer números reais.
Passo 4
Essa expressão mostra que qualquer vetor em pode ser construído usando os vetores e . Isso significa que esses dois vetores geram o espaço e são linearmente independentes.
Passo 5
Como encontramos dois vetores que geram e são linearmente independentes, esses vetores formam uma base para . A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na sua base. Portanto, como nossa base tem 2 vetores, a dimensão de é 2.