Determinar a dimensão e uma base para cada um os seguintes espaços vetoriais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a dimensão e encontrar uma base para o espaço vetorial
. Vamos usar conceitos de espaços vetoriais, subespaços e bases para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
. Isso quer dizer que, em qualquer vetor de
, o componente
está sempre quatro vezes o componente
. Então, podemos expressar qualquer vetor de
em termos de
e
, já que
não está restrito.
Então, podemos escrever um vetor genérico de
como:
Passo 3
Agora, vamos colocar isso de uma forma que mostre como podemos gerar todos os vetores de
a partir de combinações lineares. Podemos reescrever o vetor da seguinte maneira:
Aqui,
e
são os parâmetros livres, o que significa que eles podem ser quaisquer números reais.
Passo 4
Essa expressão mostra que qualquer vetor em
pode ser construído usando os vetores
e
. Isso significa que esses dois vetores geram o espaço
e são linearmente independentes.
Passo 5
Como encontramos dois vetores que geram
e são linearmente independentes, esses vetores formam uma base para
. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na sua base. Portanto, como nossa base tem 2 vetores, a dimensão de
é 2.
Resposta
A dimensão de
é 2 e uma base para
é
.