Determinar a dimensão e uma base para cada um os seguintes espaços vetoriais.
S=(x, y, z) in R^3 mid y=4 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a dimensão e encontrar uma base para o espaço vetorial . Vamos usar conceitos de espaços vetoriais, subespaços e bases para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que (x, y, z) = (x, 4x, z) . Isso quer dizer que, em qualquer vetor de , o componente está sempre quatro vezes o componente . Então, podemos expressar qualquer vetor de em termos de e , já que não está restrito.
Então, podemos escrever um vetor genérico de como:

Passo 3

Agora, vamos colocar isso de uma forma que mostre como podemos gerar todos os vetores de (x, 4x, z) = x cdot (1, 4, 0) + z cdot (0, 0, 1) a partir de combinações lineares. Podemos reescrever o vetor da seguinte maneira:
Aqui, e são os parâmetros livres, o que significa que eles podem ser quaisquer números reais.

Passo 4

Essa expressão mostra que qualquer vetor em pode ser construído usando os vetores e . Isso significa que esses dois vetores geram o espaço e são linearmente independentes.

Passo 5

Como encontramos dois vetores que geram e são linearmente independentes, esses vetores formam uma base para . A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na sua base. Portanto, como nossa base tem 2 vetores, a dimensão de é 2.

Resposta

A dimensão de é 2 e uma base para é .

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