Um copo contendo um líquido a uma temperatura de 40ºF é colocado em uma sala com temperatura constante de 70º F. Considerando um princípio da física denominado Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton, pode-se mostrar que, se a temperatura do líquido atingir 52º F em uma hora, então a temperatura T (em ºF) como função do tempo t (em horas) decorrido é, aproximadamente, T(t) = 70 - 30 e^(-0,5t). Assinale a alternativa que indica a taxa de variação da temperatura T do líquido no instante t = 1h. Escolha uma:
a. 0,6 ºF/h
b. 30 ºF/h
c. 15 ºF/h
d. 9,1 ºF/h e. 70 ºF/h

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um copo com um líquido que está a 40ºF colocado em uma sala que mantém a temperatura constante de 70ºF. Queremos descobrir qual é a taxa de variação da temperatura do líquido exatamente após 1 hora, usando a Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton. Para isso, precisamos calcular a derivada da função da temperatura em relação ao tempo e avaliar essa derivada no instante t = 1 hora.

Passo 2

A função que descreve a temperatura do líquido ao longo do tempo é dada por:
T(t) = 70 - 30 e^-0,5t
Aqui, $ T(t) $ é a temperatura em ºF e $ t $ é o tempo em horas.

Passo 3

Para encontrar a taxa de variação da temperatura, precisamos calcular a derivada de $ T(t) $ em relação a $ t $. A derivada nos dá a velocidade com que a temperatura está mudando nesse instante.

Passo 4

Calculando a derivada de $ T(t) $:
T(t)
A derivada de uma constante é zero, então:
dTdt = ddt (70 - 30 e^-0,5t)
dTdt = 0 - 30 cdot (-0,5) e^-0,5t

Passo 5

Agora, substituímos $ t = 1 $ hora na expressão da derivada para encontrar a taxa de variação nesse instante:
t = 1
dTdt|t=1 = 15 e^-0,5 cdot 1
Sabendo que $ e^{-0,5} \approx 0,6065 $:
dTdt|t=1 = 15 e^-0,5
e^-0,5 approx 0,6065 º

Resposta

A taxa de variação da temperatura no instante de 1 hora é aproximadamente 9,1 ºF/h. Portanto, a alternativa correta é a d. 9,1 ºF/h.

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