Um copo contendo um líquido a uma temperatura de 40ºF é colocado em uma sala com temperatura constante de 70º F. Considerando um princípio da física denominado Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton, pode-se mostrar que, se a temperatura do líquido atingir 52º F em uma hora, então a temperatura T (em ºF) como função do tempo t (em horas) decorrido é, aproximadamente, T(t) = 70 - 30 e^(-0,5t). Assinale a alternativa que indica a taxa de variação da temperatura T do líquido no instante t = 1h. Escolha uma:
a. 0,6 ºF/h
b. 30 ºF/h
c. 15 ºF/h
d. 9,1 ºF/h e. 70 ºF/h
a. 0,6 ºF/h
b. 30 ºF/h
c. 15 ºF/h
d. 9,1 ºF/h e. 70 ºF/h
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um copo com um líquido que está a 40ºF colocado em uma sala que mantém a temperatura constante de 70ºF. Queremos descobrir qual é a taxa de variação da temperatura do líquido exatamente após 1 hora, usando a Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton. Para isso, precisamos calcular a derivada da função da temperatura em relação ao tempo e avaliar essa derivada no instante t = 1 hora.
Passo 2
A função que descreve a temperatura do líquido ao longo do tempo é dada por:
Aqui, $ T(t) $ é a temperatura em ºF e $ t $ é o tempo em horas.
Passo 3
Para encontrar a taxa de variação da temperatura, precisamos calcular a derivada de $ T(t) $ em relação a $ t $. A derivada nos dá a velocidade com que a temperatura está mudando nesse instante.
Passo 4
Calculando a derivada de $ T(t) $:
A derivada de uma constante é zero, então:
Passo 5
Agora, substituímos $ t = 1 $ hora na expressão da derivada para encontrar a taxa de variação nesse instante:
Sabendo que $ e^{-0,5} \approx 0,6065 $:
Resposta
A taxa de variação da temperatura no instante de 1 hora é aproximadamente 9,1 ºF/h. Portanto, a alternativa correta é a d. 9,1 ºF/h.