O momento da força (ou torque) é diretamente proporcional ao momento de inércia e diretamente proporcional à aceleração angular de um corpo rígido ou partícula qualquer. Um disco de massa 4kg e raio 50cm gira ao redor de seu eixo central com velocidade angular inicial 10rad/s e depois, devido ao atrito com o eixo de rotação, reduz linearmente sua velocidade até o repouso completo após 4s. Marque a alternativa que contém a aceleração angular e o módulo do torque necessários para parar o disco.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco que está girando e, por causa do atrito no eixo de rotação, ele vai desacelerar até parar completamente em 4 segundos. A gente precisa descobrir qual é a aceleração angular necessária para isso e também o torque que está agindo no disco para pará-lo. Vamos usar conceitos de momento de inércia, aceleração angular e torque para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a aceleração angular ( alpha). Sabemos que a velocidade angular inicial ( omega0) é de 10 rad/s e que o disco para após 4 segundos. A equação que relaciona a velocidade angular, a aceleração angular e o tempo é:
omega = omega0 + alpha cdot t
Como o disco para, a velocidade final ( omega) é 0. Então:
0 = 10 + alpha cdot 4
Agora, isolamos alpha:
alpha cdot 4 = -10 alpha = -104 alpha = -2,5 , rad/s^2
A aceleração angular é -2,5 , rad/s^2. O sinal negativo indica que a aceleração está no sentido oposto ao da rotação, ou seja, está desacelerando o disco.

Passo 3

Agora, vamos calcular o torque ( tau) necessário para parar o disco. O torque está relacionado com o momento de inércia ( I) e a aceleração angular ( alpha) pela fórmula:
tau = I cdot alpha
Primeiro, precisamos calcular o momento de inércia do disco. Para um disco rígido girando em torno do seu eixo central, o momento de inércia é:
I = 12 m r^2
Onde:
  • m é a massa do disco (4 kg)
  • r é o raio do disco (0,5 m)
Substituindo os valores:
I = 12 cdot 4 cdot (0,5)^2 I = 2 cdot 0,25 I = 0,5 , kg·m^2
Agora, aplicamos na fórmula do torque:
tau = 0,5 cdot (-2,5) tau = -1,25 , N·m
O torque necessário é -1,25 , N·m. O sinal negativo indica que o torque está agindo no sentido oposto à rotação do disco, o que faz sentido já que está desacelerando-o.

Resposta

A aceleração angular necessária é -2,5 , rad/s^2 e o módulo do torque é 1,25 , N·m.

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