Para uma corda de comprimento , densidade linear de massa , calcule: a tensão na corda para que a frequência do primeiro harmônico seja 20 Hz .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma corda com comprimento e densidade linear de massa . A pergunta é: qual a tensão na corda para que a frequência do primeiro harmônico seja 20 Hz. Vamos usar conceitos de ondas estacionárias em cordas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para a frequência do enésimo harmônico em uma corda fixa nas duas extremidades:
Aqui:
  • é a frequência do enésimo harmônico,
  • é o número do harmônico,
  • é o comprimento da corda,
  • é a tensão na corda,
  • é a densidade linear de massa.
Como estamos tratando do primeiro harmônico, . Então, a fórmula fica:

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a tensão . Vamos isolar na equação. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Agora, para eliminar a raiz quadrada, elevamos ambos os lados ao quadrado:

Passo 4

Agora, resolvemos para :
Vamos substituir os valores que temos:

Passo 5

Calculando passo a passo:
Primeiro, multiplica :
Então, temos:
Então:

Passo 6

Finalmente, multiplicando:

Resposta

A tensão na corda necessária para que a frequência do primeiro harmônico seja 20 Hz é de 1.600 N.

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