Para uma corda de comprimento
, densidade linear de massa
, calcule: a tensão na corda para que a frequência do primeiro harmônico seja 20 Hz .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma corda com comprimento
e densidade linear de massa
. A pergunta é: qual a tensão na corda para que a frequência do primeiro harmônico seja 20 Hz. Vamos usar conceitos de ondas estacionárias em cordas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para a frequência do enésimo harmônico em uma corda fixa nas duas extremidades:
Aqui:
-
é a frequência do enésimo harmônico, -
é o número do harmônico, -
é o comprimento da corda, -
é a tensão na corda, -
é a densidade linear de massa.
Como estamos tratando do primeiro harmônico,
. Então, a fórmula fica:
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar a tensão
. Vamos isolar
na equação. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Agora, para eliminar a raiz quadrada, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Passo 4
Agora, resolvemos para
:
Vamos substituir os valores que temos:
Passo 5
Calculando passo a passo:
Primeiro, multiplica
:
Então, temos:
Então:
Passo 6
Finalmente, multiplicando:
Resposta
A tensão na corda necessária para que a frequência do primeiro harmônico seja 20 Hz é de 1.600 N.