Mostre que
é solução da equação da onda unidimensional.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função
é uma solução da equação da onda unidimensional. Estamos trabalhando com a equação da onda unidimensional, que descreve como ondas se propagam em um meio. Para resolver isso, vamos precisar aplicar derivadas parciais na função
e verificar se ela satisfaz a equação da onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação da onda unidimensional. Ela é dada por:
Onde:
-
é o deslocamento da onda em função de e . -
é a velocidade da onda.
Para mostrar que nossa função
é solução, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
em relação a
e
, e ver se a equação acima é satisfeita.
Passo 3
Vamos calcular a segunda derivada de
em relação ao tempo
. Primeiramente, a função dada é:
A derivada primeira de
em relação a
é:
Simplificando:
Agora, a segunda derivada em relação a
:
Simplificando novamente:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação ao espaço
. Começando com a função:
A derivada primeira em relação a
é:
E a segunda derivada em relação a
:
Passo 5
Agora que temos as segundas derivadas em relação a
e
, vamos substituir na equação da onda para verificar se ela é satisfeita:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Simplificando os sinais negativos:
Passo 6
Para que a igualdade acima seja verdadeira para todo
e
, os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Ou seja:
Isso implica que:
Essa relação é conhecida como a velocidade de fase da onda. Como essa condição é satisfeita para cada termo da soma, concluímos que a função
realmente satisfaz a equação da onda unidimensional.
Resposta
Portanto, mostramos que
é uma solução da equação da onda unidimensional, desde que
para cada
.
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