Mostre que y(x, t)=sumn=1^m An sin (kn x) cos (omegan t) é solução da equação da onda unidimensional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função é uma solução da equação da onda unidimensional. Estamos trabalhando com a equação da onda unidimensional, que descreve como ondas se propagam em um meio. Para resolver isso, vamos precisar aplicar derivadas parciais na função e verificar se ela satisfaz a equação da onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação da onda unidimensional. Ela é dada por:
partial^2 ypartial t^2 = v^2 partial^2 ypartial x^2
Onde:
  • é o deslocamento da onda em função de e .
  • é a velocidade da onda.
Para mostrar que nossa função é solução, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de em relação a e , e ver se a equação acima é satisfeita.

Passo 3

Vamos calcular a segunda derivada de y(x, t) = sumn=1^m An sin(kn x) cos(omegan t) em relação ao tempo partial ypartial t = sumn=1^m An sin(kn x) cdot (-omegan) sin(omegan t) . Primeiramente, a função dada é:
partial ypartial t = -sumn=1^m An omegan sin(kn x) sin(omegan t)
A derivada primeira de partial^2 ypartial t^2 = -sumn=1^m An omegan sin(kn x) cdot omegan cos(omegan t) em relação a partial^2 ypartial t^2 = -sumn=1^m An omegan^2 sin(kn x) cos(omegan t) é:
Simplificando:
Agora, a segunda derivada em relação a :
Simplificando novamente:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de y(x, t) = sumn=1^m An sin(kn x) cos(omegan t) em relação ao espaço partial ypartial x = sumn=1^m An kn cos(kn x) cos(omegan t) . Começando com a função:
partial^2 ypartial x^2 = -sumn=1^m An kn^2 sin(kn x) cos(omegan t)
A derivada primeira em relação a é:
E a segunda derivada em relação a :

Passo 5

Agora que temos as segundas derivadas em relação a partial^2 ypartial t^2 = v^2 partial^2 ypartial x^2 e -sumn=1^m An omegan^2 sin(kn x) cos(omegan t) = v^2 ( -sumn=1^m An kn^2 sin(kn x) cos(omegan t) ) , vamos substituir na equação da onda para verificar se ela é satisfeita:
sumn=1^m An omegan^2 sin(kn x) cos(omegan t) = v^2 sumn=1^m An kn^2 sin(kn x) cos(omegan t)
Substituindo as derivadas que calculamos:
Simplificando os sinais negativos:

Passo 6

Para que a igualdade acima seja verdadeira para todo omegan^2 = v^2 kn^2 para todo n e v = omegankn , os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Ou seja:
Isso implica que:
Essa relação é conhecida como a velocidade de fase da onda. Como essa condição é satisfeita para cada termo da soma, concluímos que a função realmente satisfaz a equação da onda unidimensional.

Resposta

Portanto, mostramos que é uma solução da equação da onda unidimensional, desde que para cada .

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