Uma corda de violão de comprimento
está ajustada (afinada) para que a frequência do primeiro harmônico seja de 660 Hz . Para que a frequência do primeiro harmônico desta corda passe a ser de 880 Hz , prende-se a corda com um dedo, de forma a reduzir o comprimento da corda para
, mas mantendo-se a tensão da corda.
(a) Qual deve ser o valor da razão
? (b) Qual o valor da velocidade da onda em função do comprimento
?
(a) Qual deve ser o valor da razão
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma corda de violão com comprimento inicial
afinada para vibrar no primeiro harmônico com frequência de 660 Hz. Queremos aumentar essa frequência para 880 Hz, mantendo a mesma tensão na corda. Precisamos descobrir a razão
e a velocidade da onda em função de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da frequência do primeiro harmônico em uma corda fixa nas duas extremidades:
onde:
-
é a frequência, -
é a velocidade da onda na corda, -
é o comprimento da corda.
Passo 3
Como a tensão na corda se mantém constante, a velocidade da onda
também permanece a mesma antes e depois de prender a corda com o dedo. Portanto, podemos relacionar as duas situações usando a fórmula da frequência.
Passo 4
Vamos escrever a fórmula da frequência para as duas situações:
Para 660 Hz:
Para 880 Hz:
Passo 5
Como a velocidade
é a mesma nas duas situações, podemos igualar as duas expressões e resolver para a razão
:
Simplificando a fração:
Passo 6
Agora, para encontrar a velocidade da onda em função de
, usamos a fórmula da frequência com a situação inicial:
Substituindo
Hz:
Resposta
(a) A razão
é
.
(b) A velocidade da onda é
.