Uma corda de massa 500 g e comprimento 5 m possui tensão de 6,4 N. No instante t=0, ondas progressivas para a direita se formam nessa corda com comprimento de onda de 0,32 m. No instante inicial o ponto x=0 da corda possui deslocamento igual 0,1 m e velocidade transversal nula. Qual o deslocamento transversal de um ponto situado em x=0,36 m, no instante t=0,15 s ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma corda com massa de 500 g (0,5 kg) e comprimento de 5 metros, que está sob uma tensão de 6,4 N. No instante inicial, ondas estão se formando nessa corda, se movendo para a direita, com um comprimento de onda de 0,32 metros. No tempo zero, o ponto na posição tem um deslocamento transversal de 0,1 metros e velocidade transversal igual a zero. A pergunta é: qual é o deslocamento transversal de um ponto na posição metros no tempo segundos?
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de ondas em uma corda, como velocidade da onda, relação entre frequência e comprimento de onda, e a equação da onda. Vamos seguir passo a passo para encontrar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade da onda na corda. A velocidade v = raizTmu de uma onda em uma corda pode ser encontrada usando a fórmula:
mu = 0,5 , kg5 , m = 0,1 , kg/m
onde v = raiz6,4 , N0,1 , kg/m = raiz64 = 8 , m/s é a tensão na corda e é a massa por unidade de comprimento.
Sabemos que a massa total da corda é 0,5 kg e o comprimento é 5 m, então:
Agora, substituindo na fórmula da velocidade:

Passo 3

Com a velocidade da onda v = lambda cdot f e o comprimento de onda f = vlambda = 80,32 = 25 , Hz , podemos encontrar a frequência da onda usando a relação:
Resolvendo para :

Passo 4

Agora, vamos determinar a equação da onda. A forma geral da onda que se move para a direita é:
y(x, t) = A cdot cos(kx - omega t + phi)
onde:
  • k = 2pilambda = 2pi0,32 approx 19,63 , rad/m é a amplitude,
  • omega = 2pi f = 2pi times 25 approx 157,08 , rad/s é o número de onda,
  • é a frequência angular,
  • é a fase inicial.
Sabemos que no instante , no ponto , e a velocidade transversal é zero. Isso nos ajuda a encontrar a fase inicial .
Primeiro, calculamos o número de onda e a frequência angular :

Passo 5

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar y(0, 0) = A cdot cos(phi) = 0,1 . No instante partial ypartial t = -A cdot omega cdot sin(kx - omega t + phi) e - A cdot omega cdot sin(phi) = 0 :
E a velocidade transversal no instante inicial é zero:
No e :
Isso implica que , então ou . Usando a primeira condição , se , então , então .

Passo 6

Agora que temos todos os parâmetros, podemos escrever a equação da onda:
y(x, t) = 0,1 cdot cos(19,63x - 157,08t)

Passo 7

Finalmente, queremos encontrar o deslocamento transversal no ponto y(0,36, 0,15) = 0,1 cdot cos(19,63 times 0,36 - 157,08 times 0,15) no tempo 19,63 times 0,36 approx 7,0668 . Substituindo esses valores na equação da onda:
157,08 times 0,15 approx 23,562
Calculando os argumentos:
7,0668 - 23,562 approx -16,4952 , rad
y(0,36, 0,15) = 0,1 cdot cos(-16,4952)
cos(-16,4952) = cos(16,4952)
cos(16,4952) approx cos(16pi + 0,4952) approx cos(0,4952) approx 0,879
Como o cosseno é uma função par:
y(0,36, 0,15) = 0,1 times 0,879 approx 0,0879 , m
Calculando :
Então:

Resposta

O deslocamento transversal no ponto no instante é aproximadamente .

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