Uma corda de massa 500 g e comprimento 5 m possui tensão de
. No instante
, ondas progressivas para a direita se formam nessa corda com comprimento de onda de
. No instante inicial o ponto
da corda possui deslocamento igual
e velocidade transversal nula. Qual o deslocamento transversal de um ponto situado em
, no instante
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma corda com massa de 500 g (0,5 kg) e comprimento de 5 metros, que está sob uma tensão de 6,4 N. No instante inicial, ondas estão se formando nessa corda, se movendo para a direita, com um comprimento de onda de 0,32 metros. No tempo zero, o ponto na posição
tem um deslocamento transversal de 0,1 metros e velocidade transversal igual a zero. A pergunta é: qual é o deslocamento transversal de um ponto na posição
metros no tempo
segundos?
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de ondas em uma corda, como velocidade da onda, relação entre frequência e comprimento de onda, e a equação da onda. Vamos seguir passo a passo para encontrar a resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade da onda na corda. A velocidade
de uma onda em uma corda pode ser encontrada usando a fórmula:
onde
é a tensão na corda e
é a massa por unidade de comprimento.
Sabemos que a massa total da corda é 0,5 kg e o comprimento é 5 m, então:
Agora, substituindo na fórmula da velocidade:
Passo 3
Com a velocidade da onda
e o comprimento de onda
, podemos encontrar a frequência
da onda usando a relação:
Resolvendo para
:
Passo 4
Agora, vamos determinar a equação da onda. A forma geral da onda que se move para a direita é:
onde:
-
é a amplitude, -
é o número de onda, -
é a frequência angular, -
é a fase inicial.
Sabemos que no instante
, no ponto
,
e a velocidade transversal é zero. Isso nos ajuda a encontrar a fase inicial
.
Primeiro, calculamos o número de onda
e a frequência angular
:
Passo 5
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
. No instante
e
:
E a velocidade transversal
no instante inicial é zero:
No
e
:
Isso implica que
, então
ou
. Usando a primeira condição
, se
, então
, então
.
Passo 6
Agora que temos todos os parâmetros, podemos escrever a equação da onda:
Passo 7
Finalmente, queremos encontrar o deslocamento transversal no ponto
no tempo
. Substituindo esses valores na equação da onda:
Calculando os argumentos:
Como o cosseno é uma função par:
Calculando
:
Então:
Resposta
O deslocamento transversal no ponto
no instante
é aproximadamente
.