Tendo em mente uma mudança de referencial de um observador para um observador
qual seria a condição em para que uma força atuando na partícula de massa seja invariante por essa mudança de referencial . Sendo a velociade relativa entre os observadores, escreva de forma explícita essa transformação entre os referenciais na forma vetorial e em coordenadas cartesianas (x,y e z). (2 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar uma mudança de referencial entre dois observadores, e . A ideia é descobrir sob que condição a força que atua em uma partícula de massa permanece a mesma nos dois referenciais, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre como as posições e velocidades se transformam entre esses referenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre as posições nos dois referenciais. A posição de uma partícula no referencial é dada por:
Aqui, é a posição do referencial em relação a , e é a posição da partícula em relação a .

Passo 3

Agora, vamos derivar essa equação em relação ao tempo para obter as velocidades:
Onde é a velocidade relativa entre os observadores.

Passo 4

Vamos derivar novamente para obter as acelerações:
Aqui, é a aceleração relativa entre os observadores.

Passo 5

Para que a força seja invariante entre os referenciais, queremos que . Pela segunda lei de Newton, e . Assim, para que , precisamos que:
Isso implica que:

Passo 6

A condição significa que a velocidade relativa entre os observadores e deve ser constante ao longo do tempo. Ou seja, não pode haver aceleração na posição .

Passo 7

Agora, vamos escrever a transformação entre os referenciais de forma vetorial e em coordenadas cartesianas. Vetorialmente:
Em coordenadas cartesianas, se e , então:

Resposta

A condição para que a força seja invariante entre os referenciais e é que a velocidade relativa seja constante, ou seja, que não haja aceleração na posição . A transformação entre os referenciais é dada por:
Em forma vetorial:
Em coordenadas cartesianas:

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