Um tubo de comprimento e raio transporta um fluxo estacionário de fluido com densidade e viscosidade . A velocidade de fluxo do fluido depende da distância do do eixo do tubo com . Encontre:
(a) O volume do fluido que atravessa a seção do tubo por unidade de tempo;
(b) A energia cinética do fluido dentro do volume do tubo;
© A força de fricção exercida sobre o tubo pelo fuido;
(d) A diferença de pressão nas bordas do tubo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um tubo com comprimento e raio que está transportando um fluido de densidade e viscosidade . A velocidade do fluido depende da distância do eixo do tubo e é dada por . A gente precisa descobrir quatro coisas:
a) O volume de fluido que passa por uma seção do tubo por unidade de tempo.
b) A energia cinética do fluido dentro do volume do tubo.
c) A força de fricção que o fluido exerce sobre o tubo.
d) A diferença de pressão nas bordas do tubo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, como fluxo volumétrico, energia cinética e forças de fricção em fluidos viscosos.

Passo 2

a) Volume do fluido que atravessa a seção do tubo por unidade de tempo
Primeiro, queremos calcular o fluxo volumétrico, ou seja, quanto de fluido passa por uma seção transversal do tubo por segundo. A fórmula geral para o fluxo volumétrico é:
Onde é a área da seção transversal e é a velocidade do fluido em cada ponto.
No nosso caso, o tubo é circular, então a área diferencial em coordenadas polares é . A velocidade depende de :
Então, substituindo na integral:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Primeiro, expandindo os termos:
Integrando termo a termo:
Então:

Passo 3

b) Energia cinética do fluido dentro do volume do tubo
A energia cinética total do fluido pode ser calculada integrando a energia cinética de cada pequeno volume de fluido no tubo. A fórmula é:
Usando coordenadas cilíndricas, temos (onde é o comprimento do tubo). A velocidade ao quadrado é:
Então, substituindo na integral:
Simplificando:
Expandindo:
Integrando termo a termo:
Substituindo:

Passo 4

c) Força de fricção exercida sobre o tubo pelo fluido
A força de fricção pode ser calculada usando a viscosidade do fluido e o gradiente de velocidade. A fórmula é:
Primeiro, calculamos a derivada da velocidade em relação a :
Substituindo na integral:
Integrando:
Então:
O sinal negativo indica que a força está na direção oposta ao movimento do fluido, mas como estamos interessados no módulo da força, podemos considerar:

Passo 5

d) Diferença de pressão nas bordas do tubo
A diferença de pressão pode ser relacionada com a força de fricção e a área da seção transversal. A fórmula é:
Onde .
Usando a força encontrada no item ©:

Resposta

a)
b)
c)
d)

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