Um tubo de comprimento
e raio
transporta um fluxo estacionário de fluido com densidade
e viscosidade
. A velocidade de fluxo do fluido depende da distância
do do eixo do tubo com
. Encontre:
(a) O volume do fluido que atravessa a seção do tubo por unidade de tempo;
(b) A energia cinética do fluido dentro do volume do tubo;
© A força de fricção exercida sobre o tubo pelo fuido;
(d) A diferença de pressão nas bordas do tubo.
(a) O volume do fluido que atravessa a seção do tubo por unidade de tempo;
(b) A energia cinética do fluido dentro do volume do tubo;
© A força de fricção exercida sobre o tubo pelo fuido;
(d) A diferença de pressão nas bordas do tubo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um tubo com comprimento
e raio
que está transportando um fluido de densidade
e viscosidade
. A velocidade do fluido depende da distância
do eixo do tubo e é dada por
. A gente precisa descobrir quatro coisas:
a) O volume de fluido que passa por uma seção do tubo por unidade de tempo.
b) A energia cinética do fluido dentro do volume do tubo.
c) A força de fricção que o fluido exerce sobre o tubo.
d) A diferença de pressão nas bordas do tubo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, como fluxo volumétrico, energia cinética e forças de fricção em fluidos viscosos.
Passo 2
a) Volume do fluido que atravessa a seção do tubo por unidade de tempo
Primeiro, queremos calcular o fluxo volumétrico, ou seja, quanto de fluido passa por uma seção transversal do tubo por segundo. A fórmula geral para o fluxo volumétrico
é:
Onde
é a área da seção transversal e
é a velocidade do fluido em cada ponto.
No nosso caso, o tubo é circular, então a área diferencial em coordenadas polares é
. A velocidade
depende de
:
Então, substituindo na integral:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Primeiro, expandindo os termos:
Integrando termo a termo:
Então:
Passo 3
b) Energia cinética do fluido dentro do volume do tubo
A energia cinética total
do fluido pode ser calculada integrando a energia cinética de cada pequeno volume de fluido no tubo. A fórmula é:
Usando coordenadas cilíndricas, temos
(onde
é o comprimento do tubo). A velocidade ao quadrado é:
Então, substituindo na integral:
Simplificando:
Expandindo:
Integrando termo a termo:
Substituindo:
Passo 4
c) Força de fricção exercida sobre o tubo pelo fluido
A força de fricção
pode ser calculada usando a viscosidade do fluido e o gradiente de velocidade. A fórmula é:
Primeiro, calculamos a derivada da velocidade em relação a
:
Substituindo na integral:
Integrando:
Então:
O sinal negativo indica que a força está na direção oposta ao movimento do fluido, mas como estamos interessados no módulo da força, podemos considerar:
Passo 5
d) Diferença de pressão nas bordas do tubo
A diferença de pressão
pode ser relacionada com a força de fricção e a área da seção transversal. A fórmula é:
Onde
.
Usando a força encontrada no item ©:
Resposta
a)
b)
c)
d)