Um tubo de comprimento l e raio R transporta um fluxo estacionário de fluido com densidade rho e viscosidade eta. A velocidade de fluxo do fluido depende da distância r do do eixo do tubo com v=v0(1-r^2 / R^2). Encontre:
(a) O volume do fluido que atravessa a seção do tubo por unidade de tempo;
(b) A energia cinética do fluido dentro do volume do tubo;
© A força de fricção exercida sobre o tubo pelo fuido;
(d) A diferença de pressão nas bordas do tubo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um tubo com comprimento e raio que está transportando um fluido de densidade e viscosidade . A velocidade do fluido depende da distância do eixo do tubo e é dada por . A gente precisa descobrir quatro coisas:
a) O volume de fluido que passa por uma seção do tubo por unidade de tempo.
b) A energia cinética do fluido dentro do volume do tubo.
c) A força de fricção que o fluido exerce sobre o tubo.
d) A diferença de pressão nas bordas do tubo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, como fluxo volumétrico, energia cinética e forças de fricção em fluidos viscosos.

Passo 2

a) Volume do fluido que atravessa a seção do tubo por unidade de tempo
Primeiro, queremos calcular o fluxo volumétrico, ou seja, quanto de fluido passa por uma seção transversal do tubo por segundo. A fórmula geral para o fluxo volumétrico Q = integralA v , dA é:
v(r) = v0 (1 - r^2R^2)
Onde Q = integral0^R v0 (1 - r^2R^2) 2pi r , dr é a área da seção transversal e Q = 2pi v0 integral0^R (r - r^3R^2) dr é a velocidade do fluido em cada ponto.
No nosso caso, o tubo é circular, então a área diferencial em coordenadas polares é integral r , dr = r^22 . A velocidade integral r^3R^2 , dr = r^44R^2 depende de Q = 2pi v0 [ R^22 - R^44R^2 ] = 2pi v0 [ R^22 - R^24 ] = 2pi v0 ( R^24 ) = pi v0 R^22 :
Então, substituindo na integral:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Primeiro, expandindo os termos:
Integrando termo a termo:
Então:

Passo 3

b) Energia cinética do fluido dentro do volume do tubo
A energia cinética total Ec = integralV 12 rho v^2 , dV do fluido pode ser calculada integrando a energia cinética de cada pequeno volume de fluido no tubo. A fórmula é:
v^2(r) = v0^2 (1 - r^2R^2)^2
Usando coordenadas cilíndricas, temos Ec = 12 rho integral0^R v0^2 (1 - r^2R^2)^2 2pi r l , dr (onde Ec = pi rho v0^2 l integral0^R (1 - 2r^2R^2 + r^4R^4) r , dr é o comprimento do tubo). A velocidade ao quadrado é:
Ec = pi rho v0^2 l integral0^R (r - 2r^3R^2 + r^5R^4) dr
Então, substituindo na integral:
integral r , dr = R^22
Simplificando:
integral r^3 , dr = R^44
Expandindo:
integral r^5 , dr = R^66
Integrando termo a termo:
Ec = pi rho v0^2 l [ R^22 - 2 cdot R^44 R^2 + R^66 R^4 ] = pi rho v0^2 l [ R^22 - R^22 + R^26 ] = pi rho v0^2 l ( R^26 ) = pi rho v0^2 l R^26
Substituindo:

Passo 4

c) Força de fricção exercida sobre o tubo pelo fluido
A força de fricção F = eta integralA ( dvdr ) 2pi r , dr pode ser calculada usando a viscosidade do fluido e o gradiente de velocidade. A fórmula é:
dvdr = ddr [ v0 (1 - r^2R^2) ] = - 2 v0 rR^2
Primeiro, calculamos a derivada da velocidade em relação a F = eta integral0^R ( -2 v0 rR^2 ) 2pi r , dr = -4pi eta v0 integral0^R r^2R^2 , dr :
integral r^2 , dr = R^33
Substituindo na integral:
F = -4pi eta v0 ( R^33 R^2 ) = -4pi eta v0 ( R3 ) = -4pi eta v0 R3
Integrando:
F = 4pi eta v0 R3
Então:
O sinal negativo indica que a força está na direção oposta ao movimento do fluido, mas como estamos interessados no módulo da força, podemos considerar:

Passo 5

d) Diferença de pressão nas bordas do tubo
A diferença de pressão De pode ser relacionada com a força de fricção e a área da seção transversal. A fórmula é:
De
Onde .
Usando a força encontrada no item ©:

Resposta

a)
b)
c)
d)

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