Uma corda elástica exerce uma força dada por
, onde a e
são constantes. Mostrar: a) que o trabalho feito sobre a corda para esticá-la de 0 até
é
b) que a energia potencial elástica em
é
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício sobre trabalho e energia potencial em uma corda elástica. O enunciado nos dá a força exercida pela corda,
, e pede para mostrarmos duas coisas:
a) Calcula o trabalho feito para esticar a corda de 0 até
.
b) Determinar a energia potencial elástica em
.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de trabalho na física e energia potencial, além de aplicar integrais para calcular o trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho. Na física, o trabalho (
) feito por uma força que varia ao longo do deslocamento pode ser calculado pela integral da força em relação à posição. Matematicamente, isso é expresso por:
Passo 3
Dado que a força exercida pela corda é
, vamos substituir essa expressão na fórmula do trabalho:
Passo 4
Vamos expandir a expressão dentro do integral para simplificar:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
- Para o termo
:
- Para o termo
:
Passo 6
Somando os resultados das integrais, temos:
Como estamos calculando o trabalho de 0 até
, a constante de integração
é zero.
Passo 7
Portanto, o trabalho feito para esticar a corda de 0 até
é:
Passo 8
Agora, vamos determinar a energia potencial elástica. A energia potencial (
) armazenada em uma extensão ou compressão de uma corda elástica é definida como o trabalho realizado para esticá-la. Porém, a convenção de sinais na energia potencial geralmente considera valores positivos para extensões.
Portanto, a energia potencial elástica será o negativo do trabalho realizado:
Passo 9
Substituindo o valor de
que encontramos:
Resposta
a) O trabalho feito para esticar a corda de 0 até
é:
b) A energia potencial elástica em
é:
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.
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