Uma corda elástica exerce uma força dada por Fx=-x(k+a x), onde a e k são constantes. Mostrar: a) que o trabalho feito sobre a corda para esticá-la de 0 até x é -k x^2 / 2-a x^3 / 3 ; b) que a energia potencial elástica em x é +k x^2 / 2+a x^3 / 3.

Passo 1

Vamos resolver o exercício sobre trabalho e energia potencial em uma corda elástica. O enunciado nos dá a força exercida pela corda, Fx = -x(k + a x), e pede para mostrarmos duas coisas:
a) Calcula o trabalho feito para esticar a corda de 0 até x.
b) Determinar a energia potencial elástica em x.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de trabalho na física e energia potencial, além de aplicar integrais para calcular o trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho. Na física, o trabalho ( W) feito por uma força que varia ao longo do deslocamento pode ser calculado pela integral da força em relação à posição. Matematicamente, isso é expresso por:
W = integral0^x Fx , dx

Passo 3

Dado que a força exercida pela corda é Fx = -x(k + a x), vamos substituir essa expressão na fórmula do trabalho:
W = integral0^x -x(k + a x) , dx

Passo 4

Vamos expandir a expressão dentro do integral para simplificar:
W = integral0^x (-k x - a x^2) , dx

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
  1. Para o termo -k x:
integral -k x , dx = -k cdot x^22
  1. Para o termo -a x^2:
integral -a x^2 , dx = -a cdot x^33

Passo 6

Somando os resultados das integrais, temos:
W = -k x^22 - a x^33 + C
Como estamos calculando o trabalho de 0 até x, a constante de integração C é zero.

Passo 7

Portanto, o trabalho feito para esticar a corda de 0 até x é:
W = -k x^22 - a x^33

Passo 8

Agora, vamos determinar a energia potencial elástica. A energia potencial ( U) armazenada em uma extensão ou compressão de uma corda elástica é definida como o trabalho realizado para esticá-la. Porém, a convenção de sinais na energia potencial geralmente considera valores positivos para extensões.
Portanto, a energia potencial elástica será o negativo do trabalho realizado:
U = -W

Passo 9

Substituindo o valor de W que encontramos:
U = -( -k x^22 - a x^33 ) = k x^22 + a x^33

Resposta

a) O trabalho feito para esticar a corda de 0 até x é:
W = -k x^22 - a x^33
b) A energia potencial elástica em x é:
U = k x^22 + a x^33

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