Uma corda está enrolada em uma roldana de raio igual a 49 cm que está presa no teto. Um corpo de massa igual a
é amarrado na extremidade livre da corda e liberado de modo a cair sob a ação da gravidade, desenrolando a corda. Desprezando-se as massas da corda e da roldana, pode-se dizer que o corpo cai com aceleração
. Determine a velocidade e a aceleração angular da roldana girando em torno de seu eixo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! Temos uma corda enrolada em uma roldana (aquela roda que ajuda a levantar peso) com raio de 49 cm. Amarramos um corpo de 1,0 kg na corda e o soltamos para cair sob a ação da gravidade. O exercício quer que a gente encontre a velocidade do corpo e a aceleração angular da roldana enquanto o corpo está caindo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos converter o raio da roldana para metros, já que o Sistema Internacional usa metros:
Passo 3
Sabemos que a massa do corpo é $ m = 1,0 , kg $ e que ele está caindo com uma aceleração $ a = g $, onde $ g = 9,81 , m/s^2 $.
Passo 4
Como a roldana está girando enquanto a corda desenrola, há uma relação entre a aceleração linear do corpo ($ a
\alpha $). Essa relação é dada por:
Queremos encontrar $ \alpha $, então vamos rearranjar a fórmula:
Passo 5
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Agora, para encontrar a velocidade do corpo após um certo tempo $ t $, usamos a fórmula da cinemática para velocidade com aceleração constante:
Mas o exercício não nos dá um tempo específico. Então, vamos manter a relação entre a velocidade $ v $ do corpo e a velocidade angular $ \omega $ da roldana. Sabemos que:
Então, rearranjando para $ \omega $:
Resposta
Portanto, a velocidade do corpo após um tempo $ t $ é:
E a aceleração angular da roldana é: