A corda da figura acima, de comprimento , possui uma pequena esfera presa a uma das extremidades e a outra fixa, no ponto . A distância d da extremidade fixa a um pino em é . A esfera, inicialmente em repouso, é liberada com o fio na posição horizontal, percorrendo a trajetória indicada pelo arco tracejado. Qual é a velocidade da bola ao atingir (a) o ponto mais baixo da trajetória e (b) o ponto mais alto depois que a corda encosta o pino? © Qual a tração da corda no ponto mais baixo de sua trajetória? ( 0,7 ponto).

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma corda de comprimento com uma esfera presa numa ponta e a outra fixa no ponto . A distância do ponto fixo até um pino no ponto é . A esfera é solta da posição horizontal e vai se movimentar seguindo uma trajetória de arco. Precisamos descobrir três coisas:
(a) A velocidade da bola quando chega ao ponto mais baixo da trajetória.
(b) A velocidade da bola no ponto mais alto depois que a corda toca o pino.
© A tração da corda no ponto mais baixo da trajetória.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia mecânica e dinâmica circular. Vamos precisar das fórmulas de conservação da energia e da relação entre força centrípeta e tração na corda.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a energia envolvida. Quando a esfera é solta da posição horizontal, toda a energia é potencial gravitacional porque está em repouso. No ponto mais baixo, essa energia potencial se transforma em energia cinética.
A energia potencial gravitacional é dada por:
E a energia cinética é:
Onde:
  • é a massa da esfera,
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura,
  • é a velocidade.

Passo 3

Vamos calcular a altura que a esfera desce. Quando a esfera está na posição horizontal, a altura inicial é igual ao comprimento da corda . No ponto mais baixo, a altura é zero. Então, a variação de altura é:
Convertendo o comprimento para metros:
Então:

Passo 4

Aplicando a conservação da energia:
Perceba que a massa se cancela:
Resolvendo para :

Passo 5

Substituindo os valores:

Passo 6

Então, a velocidade da bola ao atingir o ponto mais baixo da trajetória é aproximadamente .

Resposta

A velocidade da bola ao atingir o ponto mais baixo da trajetória é aproximadamente .

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