A corda da figura acima, de comprimento
, possui uma pequena esfera presa a uma das extremidades e a outra fixa, no ponto
. A distância d da extremidade fixa a um pino em
é
. A esfera, inicialmente em repouso, é liberada com o fio na posição horizontal, percorrendo a trajetória indicada pelo arco tracejado. Qual é a velocidade da bola ao atingir (a) o ponto mais baixo da trajetória e (b) o ponto mais alto depois que a corda encosta o pino? © Qual a tração da corda no ponto mais baixo de sua trajetória? ( 0,7 ponto).
Passo 1
Então, vamos lá! Temos uma corda de comprimento
com uma esfera presa numa ponta e a outra fixa no ponto
. A distância do ponto fixo até um pino no ponto
é
. A esfera é solta da posição horizontal e vai se movimentar seguindo uma trajetória de arco. Precisamos descobrir três coisas:
(a) A velocidade da bola quando chega ao ponto mais baixo da trajetória.
(b) A velocidade da bola no ponto mais alto depois que a corda toca o pino.
© A tração da corda no ponto mais baixo da trajetória.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia mecânica e dinâmica circular. Vamos precisar das fórmulas de conservação da energia e da relação entre força centrípeta e tração na corda.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a energia envolvida. Quando a esfera é solta da posição horizontal, toda a energia é potencial gravitacional porque está em repouso. No ponto mais baixo, essa energia potencial se transforma em energia cinética.
A energia potencial gravitacional é dada por:
E a energia cinética é:
Onde:
-
é a massa da esfera, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura, -
é a velocidade.
Passo 3
Vamos calcular a altura
que a esfera desce. Quando a esfera está na posição horizontal, a altura inicial é igual ao comprimento da corda
. No ponto mais baixo, a altura é zero. Então, a variação de altura é:
Convertendo o comprimento para metros:
Então:
Passo 4
Aplicando a conservação da energia:
Perceba que a massa
se cancela:
Resolvendo para
:
Passo 5
Substituindo os valores:
Passo 6
Então, a velocidade da bola ao atingir o ponto mais baixo da trajetória é aproximadamente
.
Resposta
A velocidade da bola ao atingir o ponto mais baixo da trajetória é aproximadamente
.
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