Uma corda fixa nas duas extremidades oscila no
modo normal com frequência
quando submetido à uma tensāo de 1 N . Qual deve ser a tensāo para que o modo fundamental oscile com a mesma frequência
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma corda fixa nas duas extremidades que está vibrando no terceiro modo normal com uma frequência
quando a tensão é de 1 N. Queremos descobrir qual deve ser a tensão para que o modo fundamental (o primeiro modo) oscile com a mesma frequência
. Vamos usar conceitos de ondas estacionárias em cordas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a frequência de vibração de uma corda fixa depende do modo de vibração, da tensão na corda e de outras variáveis. A fórmula geral para a frequência
do
-ésimo modo normal é:
onde:
-
é o número do modo (1 para fundamental, 2 para o segundo modo, etc.), -
é o comprimento da corda, -
é a tensão na corda, -
é a densidade linear de massa da corda.
Passo 3
Na situação inicial, temos o terceiro modo (
) com uma frequência
e tensão
N. Podemos escrever:
Passo 4
Queremos encontrar a tensão
necessária para que o modo fundamental (
) tenha a mesma frequência
. Usando a fórmula para o modo fundamental:
Passo 5
Como ambas as expressões são iguais a
, podemos igualá-las:
Passo 6
Vamos simplificar a equação. Primeiro, podemos cancelar
de ambos os lados:
Passo 7
Agora, podemos eliminar
dividindo ambos os lados por ela:
Passo 8
Para encontrar
, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Resposta
A tensão necessária para que o modo fundamental oscile com a mesma frequência
é de 9 N.
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