Uma corda fixa nas duas extremidades oscila no modo normal com frequência quando submetido à uma tensāo de 1 N . Qual deve ser a tensāo para que o modo fundamental oscile com a mesma frequência .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma corda fixa nas duas extremidades que está vibrando no terceiro modo normal com uma frequência quando a tensão é de 1 N. Queremos descobrir qual deve ser a tensão para que o modo fundamental (o primeiro modo) oscile com a mesma frequência . Vamos usar conceitos de ondas estacionárias em cordas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a frequência de vibração de uma corda fixa depende do modo de vibração, da tensão na corda e de outras variáveis. A fórmula geral para a frequência do -ésimo modo normal é:
onde:
  • é o número do modo (1 para fundamental, 2 para o segundo modo, etc.),
  • é o comprimento da corda,
  • é a tensão na corda,
  • é a densidade linear de massa da corda.

Passo 3

Na situação inicial, temos o terceiro modo ( ) com uma frequência e tensão N. Podemos escrever:

Passo 4

Queremos encontrar a tensão necessária para que o modo fundamental ( ) tenha a mesma frequência . Usando a fórmula para o modo fundamental:

Passo 5

Como ambas as expressões são iguais a , podemos igualá-las:

Passo 6

Vamos simplificar a equação. Primeiro, podemos cancelar de ambos os lados:

Passo 7

Agora, podemos eliminar dividindo ambos os lados por ela:

Passo 8

Para encontrar , vamos elevar ambos os lados ao quadrado:

Resposta

A tensão necessária para que o modo fundamental oscile com a mesma frequência é de 9 N.

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