Uma corda de 2 m , fixa em uma extremidade, está vibrando no seu terceiro harmônico. O maior deslocamento de qualquer segmento da corda é 3 cm . A freqüência da vibração é 100 Hz . (a) Escrever a função de onda desta vibração. (b) Escrever a expressão da energia cinética de um segmento da corda de comprimento d x num ponto x, num certo t. Em que instante t esta energia cinética é máxima? Qual a forma da corda neste instante? © Achar a energia cinética máxima dá corda pela integração da expressã́o da parte (b) sobre o comprimento total da corda. (d) Achar a energia potencial de um segmento da corda e calcular a energia potencial - máxima da corda, mediante integração. Sugestão: Lembrar que a energia .potencial de uma massa m, num movimento harmônico simples de frequiência angular omega é m omega^2 y^2 12, onde y é o deslocamento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma corda de 2 metros fixa em uma extremidade que está vibrando no seu terceiro harmônico. A frequência da vibração é de 100 Hz e o maior deslocamento é de 3 cm. Vamos usar conceitos de ondas estacionárias, harmônicos, e energia em movimentos oscilatórios para resolver as partes (a) a (d) do exercício.

Passo 2

Parte (a): Escrever a função de onda desta vibração.
Primeiro, vamos lembrar que para uma corda fixa em uma extremidade vibrando em um harmônico específico, a função de onda pode ser representada por uma função senoidal que depende da posição L = 3 lambda2 ao longo da corda e do tempo lambda = 2L3 = 2 times 2, m3 = 43, m .
No terceiro harmônico, o comprimento da corda v = f lambda = 100, Hz times 43, m = 4003, m/s está relacionado com o comprimento de onda y(x, t) = A sin(3pi xL) cos(2pi f t) pela relação:
y(x, t) = 0,03 sin(3pi x2) cos(200pi t)
Resolvendo para :
A frequência e a velocidade da onda é dada por:
A função de onda para o terceiro harmônico pode ser escrita como:
Onde .
Substituindo os valores:

Passo 3

Parte (b): Escrever a expressão da energia cinética de um segmento da corda de comprimento dK = 12 mu (vy)^2 dx num ponto vy = partial ypartial t = -0,03 sin(3pi x2) cdot 200pi sin(200pi t) , num certo vy = -6pi sin(3pi x2) sin(200pi t) . Em que instante dK = 12 mu (-6pi sin(3pi x2) sin(200pi t))^2 dx esta energia cinética é máxima? Qual a forma da corda neste instante?
A energia cinética dK = 12 mu (36pi^2) sin^2(3pi x2) sin^2(200pi t) dx de um pequeno segmento dK = 18mu pi^2 sin^2(3pi x2) sin^2(200pi t) dx da corda é dada por:
Onde:
  • é a massa linear da corda ( ), mas como não foi dada a massa, vamos manter na expressão.
  • é a velocidade vertical do segmento, que é a derivada da função de onda em relação ao tempo:
Substituindo na expressão de :
Para que a energia cinética seja máxima, precisamos que seja máximo, ou seja, . Isso ocorre quando , o que corresponde a instantes onde a velocidade é máxima.
Neste instante, a forma da corda é tal que todas as partes estão cruzando a posição de equilíbrio, passando de uma direção para outra rapidamente.

Passo 4

Parte ©: Achar a energia cinética máxima da corda pela integração da expressão da parte (b) sobre o comprimento total da corda.
Já temos a expressão para a energia cinética máxima de um segmento:
dKmáx = 18mu pi^2 sin^2(3pi x2) cdot 1 cdot dx = 18mu pi^2 sin^2(3pi x2) dx á
Para achar a energia cinética total máxima Kmáx = integral0^2 18mu pi^2 sin^2(3pi x2) dx á, integramos ao longo de toda a corda Kmáx = 18mu pi^2 integral0^2 sin^2(3pi x2) dx :
integral sin^2(ax) dx = x2 - sin(2ax)4a + C á
Simplificando:
Kmáx = 18mu pi^2 [ x2 - sin(3pi x)6pi ]0^2 á
Sabemos que:
Kmáx = 18mu pi^2 ( 22 - sin(6pi)6pi - (0 - sin(0)6pi) )
Aplicando isso:
Kmáx = 18mu pi^2 ( 1 - 0 ) = 18mu pi^2 á
Calculando nos limites:
Kmáx = 18mu pi^2 á
á
Portanto, a energia cinética máxima da corda é:
á

Passo 5

Parte (d): Achar a energia potencial de um segmento da corda e calcular a energia potencial máxima da corda, mediante integração.
A energia potencial dU = 12 mu omega^2 y^2 dx de um segmento dU = 12 mu (200pi)^2 (0,03 sin(3pi x2) cos(200pi t))^2 dx da corda é semelhante à energia cinética, mas depende do deslocamento:
dU = 12 mu 40000pi^2 times 0,0009 sin^2(3pi x2) cos^2(200pi t) dx
Onde dU = 18mu pi^2 sin^2(3pi x2) cos^2(200pi t) dx e Umáx = integral0^2 18mu pi^2 sin^2(3pi x2) dx .
Substituindo:
Umáx = 18mu pi^2
Para encontrar a energia potencial máxima, precisamos que . Isso ocorre quando , ou seja, quando a corda está no deslocamento máximo.
A energia potencial total máxima á é:
á
Assim como na parte ©, temos:
á

Resposta

(a) A função de onda é .
(b) A expressão da energia cinética de um segmento é . A energia cinética é máxima quando segundos (onde é inteiro), e neste instante, a corda passa pela posição de equilíbrio.
© A energia cinética máxima da corda é á.
(d) A energia potencial máxima da corda é á.

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