Uma corda de 2 m , fixa em uma extremidade, está vibrando no seu terceiro harmônico. O maior deslocamento de qualquer segmento da corda é 3 cm . A freqüência da vibração é 100 Hz . (a) Escrever a função de onda desta vibração. (b) Escrever a expressão da energia cinética de um segmento da corda de comprimento
num ponto
, num certo
. Em que instante
esta energia cinética é máxima? Qual a forma da corda neste instante? © Achar a energia cinética máxima dá corda pela integração da expressã́o da parte (b) sobre o comprimento total da corda. (d) Achar a energia potencial de um segmento da corda e calcular a energia potencial - máxima da corda, mediante integração. Sugestão: Lembrar que a energia .potencial de uma massa
, num movimento harmônico simples de frequiência angular
é
, onde y é o deslocamento.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma corda de 2 metros fixa em uma extremidade que está vibrando no seu terceiro harmônico. A frequência da vibração é de 100 Hz e o maior deslocamento é de 3 cm. Vamos usar conceitos de ondas estacionárias, harmônicos, e energia em movimentos oscilatórios para resolver as partes (a) a (d) do exercício.
Passo 2
Parte (a): Escrever a função de onda desta vibração.
Primeiro, vamos lembrar que para uma corda fixa em uma extremidade vibrando em um harmônico específico, a função de onda pode ser representada por uma função senoidal que depende da posição
ao longo da corda e do tempo
.
No terceiro harmônico, o comprimento da corda
está relacionado com o comprimento de onda
pela relação:
Resolvendo para
:
A frequência
e a velocidade da onda
é dada por:
A função de onda para o terceiro harmônico pode ser escrita como:
Onde
.
Substituindo os valores:
Passo 3
Parte (b): Escrever a expressão da energia cinética de um segmento da corda de comprimento
num ponto
, num certo
. Em que instante
esta energia cinética é máxima? Qual a forma da corda neste instante?
A energia cinética
de um pequeno segmento
da corda é dada por:
Onde:
-
é a massa linear da corda ( ), mas como não foi dada a massa, vamos manter na expressão. -
é a velocidade vertical do segmento, que é a derivada da função de onda em relação ao tempo:
Substituindo na expressão de
:
Para que a energia cinética seja máxima, precisamos que
seja máximo, ou seja,
. Isso ocorre quando
, o que corresponde a instantes onde a velocidade é máxima.
Neste instante, a forma da corda é tal que todas as partes estão cruzando a posição de equilíbrio, passando de uma direção para outra rapidamente.
Passo 4
Parte ©: Achar a energia cinética máxima da corda pela integração da expressão da parte (b) sobre o comprimento total da corda.
Já temos a expressão para a energia cinética máxima de um segmento:
Para achar a energia cinética total máxima
, integramos ao longo de toda a corda
:
Simplificando:
Sabemos que:
Aplicando isso:
Calculando nos limites:
Portanto, a energia cinética máxima da corda é:
Passo 5
Parte (d): Achar a energia potencial de um segmento da corda e calcular a energia potencial máxima da corda, mediante integração.
A energia potencial
de um segmento
da corda é semelhante à energia cinética, mas depende do deslocamento:
Onde
e
.
Substituindo:
Para encontrar a energia potencial máxima, precisamos que
. Isso ocorre quando
, ou seja, quando a corda está no deslocamento máximo.
A energia potencial total máxima
é:
Assim como na parte ©, temos:
Resposta
(a) A função de onda é
.
(b) A expressão da energia cinética de um segmento é
. A energia cinética é máxima quando
segundos (onde
é inteiro), e neste instante, a corda passa pela posição de equilíbrio.
© A energia cinética máxima da corda é
.
(d) A energia potencial máxima da corda é
.