As funçõs de onda de duas ondas estacionárias, numa corda de comprimento
, são
onde
e
. A função de onda da onda resultante é
(a) Achar a velocidade de um segmento
da corda. (b) Achar a energia cinética deste segmento. © Por integração, achar a energia cinética total da onda resultante. Observar o desaparecimento dos termos com os produtos cruzados, de modo que a energia cinética total é proporcional a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas ondas estacionárias numa corda de comprimento
. A gente precisa encontrar três coisas: a velocidade de um pedacinho da corda (
), a energia cinética desse pedacinho, e depois a energia cinética total da onda resultante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de ondas estacionárias e energia cinética.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a velocidade de um segmento
da corda. A velocidade de um ponto na corda é a derivada da posição em relação ao tempo. Como a onda resultante é
, temos:
Dado que:
A derivada temporal fica:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b), achar a energia cinética desse segmento
. A energia cinética (
) de um pedaço de massa
com velocidade
é:
Para uma corda,
, onde
é a densidade linear de massa. Então:
Substituindo a expressão de
que encontramos:
Passo 4
Finalmente, para a parte ©, precisamos integrar a energia cinética ao longo de todo o comprimento da corda para achar a energia cinética total (
) da onda resultante:
Expandindo o quadrado, teremos termos quadráticos e termos de produto cruzado. Porém, ao integrar, os termos de produto cruzado desaparecem devido à ortogonalidade das funções seno com diferentes números de harmônicos. Assim, a energia cinética total fica proporcional a:
Resposta
A energia cinética total da onda resultante é proporcional a
.
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num ponto
, num certo
. Em que instante
esta energia cinética é máxima? Qual a forma da corda neste instante? © Achar a energia cinética máxima dá corda pela integração da expressã́o da parte (b) sobre o comprimento total da corda. (d) Achar a energia potencial de um segmento da corda e calcular a energia potencial - máxima da corda, mediante integração. Sugestão: Lembrar que a energia .potencial de uma massa
, num movimento harmônico simples de frequiência angular
é
, onde y é o deslocamento.
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em relação ao chão de acordo com
. (b) Se a extremidade pendente da corda receber um deslocamento lateral momentâneo, quanto tempo leva o pulso ondulatório resultante para ir até o teto, refletir-se e retornar até a extremidade livre?
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, a freqüência do modo fundamental será alterada por aproximadamente
, onde
(ver o Problema 54). Este resultado aplica-se a qualquer harmônico? (
) Usar este resultado para achar a variação percentual da tensão necessária para elevar, de 260 Hz para 262 Hz , a freqüência da fundamental de uma corda de piano.