As funçõs de onda de duas ondas estacionárias, numa corda de comprimento L, são
& y1(x, t)=A1 cos omega1 t sen k1 x & y2(x, t)=A2 cos omega2 t sen k2 x
onde kn=n pi / L e omegan=n omega1. A função de onda da onda resultante é
yr(x, t)=y1(x, t)+y2(x, t)
(a) Achar a velocidade de um segmento d x da corda. (b) Achar a energia cinética deste segmento. © Por integração, achar a energia cinética total da onda resultante. Observar o desaparecimento dos termos com os produtos cruzados, de modo que a energia cinética total é proporcional a (n1 A1)^2+(n2 A2)^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas ondas estacionárias numa corda de comprimento . A gente precisa encontrar três coisas: a velocidade de um pedacinho da corda ( ), a energia cinética desse pedacinho, e depois a energia cinética total da onda resultante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de ondas estacionárias e energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a velocidade de um segmento v(x, t) = partial yrpartial t = partial y1partial t + partial y2partial t da corda. A velocidade de um ponto na corda é a derivada da posição em relação ao tempo. Como a onda resultante é y1(x, t)=A1 cos omega1 t sin k1 x , temos:
y2(x, t)=A2 cos omega2 t sin k2 x
Dado que:
v(x, t) = -A1 omega1 sin omega1 t sin k1 x - A2 omega2 sin omega2 t sin k2 x
A derivada temporal fica:

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b), achar a energia cinética desse segmento dK = 12 dm , v^2 . A energia cinética ( dK = 12 mu v^2 dx ) de um pedaço de massa dK = 12 mu ( -A1 omega1 sin omega1 t sin k1 x - A2 omega2 sin omega2 t sin k2 x )^2 dx com velocidade é:
Para uma corda, , onde é a densidade linear de massa. Então:
Substituindo a expressão de que encontramos:

Passo 4

Finalmente, para a parte ©, precisamos integrar a energia cinética ao longo de todo o comprimento da corda para achar a energia cinética total ( K = integral0^L dK = 12 mu integral0^L ( -A1 omega1 sin omega1 t sin k1 x - A2 omega2 sin omega2 t sin k2 x )^2 dx ) da onda resultante:
K propto (n1 A1)^2 + (n2 A2)^2
Expandindo o quadrado, teremos termos quadráticos e termos de produto cruzado. Porém, ao integrar, os termos de produto cruzado desaparecem devido à ortogonalidade das funções seno com diferentes números de harmônicos. Assim, a energia cinética total fica proporcional a:

Resposta

A energia cinética total da onda resultante é proporcional a .

Exercícios relacionados