Um fio metálico muito comprido vibra transversalmente pela ação de um motor mecânico que provoca ondas que se deslocam no fio. Na outra extremidade do fio, as ondas que ali chegam são apropriadamente absorvidas, de modo que não retornam ondas refletidas para o motor. A velocidade da onda é
, o deslocamento tránsversal máximo do fio 1 cm , e a distância entre os máximos
. (a) Escrever a função de onda que representa a onda que se desloca no fio. (
) Qual a frequência da vibração do motor? © Qual o período das oscilações transversais do fio? (d) Qual a velocidade transversal máxima de um pequenino inseto que estiver pendurado no fio?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre ondas em um fio metálico bem longo que está vibrando transversalmente graças a um motor mecânico. As informações que a gente tem são:
- Velocidade da onda:
- Deslocamento transversal máximo:
- Distância entre os máximos:
Vamos precisar usar conceitos de ondas transversais, como a função de onda, frequência, período e velocidade transversal. Bora resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Escrever a função de onda que representa a onda que se desloca no fio
Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral de uma função de onda que se propaga ao longo de uma direção (no caso, ao longo do fio). A função de onda
pode ser escrita como:
Onde:
-
é a amplitude (deslocamento máximo) da onda. -
é o número de onda. -
é a frequência angular. -
é a posição ao longo do fio. -
é o tempo.
Número de onda
é relacionado ao comprimento de onda
por:
Agora, vamos calcular
:
Então, substituindo os valores na função de onda:
Mas ainda não sabemos
, que iremos encontrar na próxima parte.
Passo 3
Parte (b): Qual a frequência da vibração do motor?
A frequência
está relacionada com o período
e a frequência angular
pelas seguintes relações:
Vamos usar a primeira equação para encontrar a frequência
.
Rearranjando a fórmula:
Substituindo os valores:
Então, a frequência da vibração do motor é 80 Hz.
Passo 4
Parte ©: Qual o período das oscilações transversais do fio?
O período
é o inverso da frequência
:
Substituindo o valor de
:
Então, o período das oscilações transversais do fio é 0,0125 segundos.
Passo 5
Parte (d): Qual a velocidade transversal máxima de um pequenino inseto que estiver pendurado no fio?
A velocidade transversal
de uma partícula na onda é dada pela derivada da função de onda em relação ao tempo:
A velocidade máxima ocorre quando
, então:
Sabemos que
, então:
Substituindo os valores:
Arredondando, a velocidade transversal máxima é aproximadamente 5,03 m/s.
Resposta
(a) A função de onda é
.
(b) A frequência da vibração do motor é 80 Hz.
© O período das oscilações transversais do fio é 0,0125 segundos.
(d) A velocidade transversal máxima do inseto é aproximadamente 5,03 m/s.