Uma corrente metálica sem fim (sem extremidades livres) adquire a forma circular quando for impulsionada de modo a girar numa velocidade elevada. Imaginemos uma corrente de densidade linear de massa mu, rolando sem escorregar a uma velocidade elevada v0. (a) Mostrar que a tensão na corrente é F=mu v0^2. (b) Se a corrente rola sobre uma pequena protuberância, haverá um pulso ondulatório propagando-se na corrente. Qual a velocidade de propagação deste pulso? © Qual a distância percorrida na corrente (em graus) por um pulso ondulatório transversal, durante o tempo necessário para a corrente circular dar uma volta completa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma corrente metálica que gira em alta velocidade, formando um círculo. A gente vai trabalhar com conceitos de movimento circular e propagação de ondas em uma corrente. Para resolver, vamos precisar entender força centrípeta, tensão em uma corrente rolante e velocidade de ondas em meios contínuos.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a). Queremos mostrar que a tensão na corrente é Fc = mu v0^2 .
Quando um objeto se move em círculo, ele precisa de uma força centrípeta para manter esse movimento. No caso da corrente, essa força vem da tensão na própria corrente. A força centrípeta para um segmento da corrente de massa linear e velocidade é dada por:
Então, a tensão na corrente é igual a essa força centrípeta.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b). Se a corrente rola sobre uma protuberância, um pulso ondulatório se propaga nela. Precisamos encontrar a velocidade de propagação desse pulso.
A velocidade de uma onda em uma corrente rolante sem escorregar depende da tensão vp = raizFmu e da massa linear vp = raizmu v0^2mu = raizv0^2 = v0 . A fórmula para a velocidade da onda é:
Usando a tensão que já encontramos, , substituímos:
Então, a velocidade de propagação do pulso é igual à velocidade de rolagem da corrente .

Passo 4

Por último, na parte ©, queremos saber a distância percorrida por um pulso ondulatório em graus durante o tempo que a corrente dá uma volta completa.
Primeiro, vamos calcular o tempo para a corrente dar uma volta completa. Se a velocidade de rolagem é T = 2pi Rv0 e o comprimento da corrente é infinito, mas como ela forma um círculo, o período d = vp times T = v0 times 2pi Rv0 = 2pi R é:
onde é o raio do círculo.
Agora, a distância percorrida pelo pulso na corrente em tempo é:
Convertendo para graus, já que uma volta completa é , o pulso percorre durante o tempo que a corrente dá uma volta.

Resposta

(a) A tensão na corrente é .
(b) A velocidade de propagação do pulso ondulatório é .
© O pulso percorre na corrente durante o tempo necessário para a corrente dar uma volta completa.

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