Uma corrente metálica sem fim (sem extremidades livres) adquire a forma circular quando for impulsionada de modo a girar numa velocidade elevada. Imaginemos uma corrente de densidade linear de massa
, rolando sem escorregar a uma velocidade elevada
. (a) Mostrar que a tensão na corrente é
. (b) Se a corrente rola sobre uma pequena protuberância, haverá um pulso ondulatório propagando-se na corrente. Qual a velocidade de propagação deste pulso? © Qual a distância percorrida na corrente (em graus) por um pulso ondulatório transversal, durante o tempo necessário para a corrente circular dar uma volta completa?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma corrente metálica que gira em alta velocidade, formando um círculo. A gente vai trabalhar com conceitos de movimento circular e propagação de ondas em uma corrente. Para resolver, vamos precisar entender força centrípeta, tensão em uma corrente rolante e velocidade de ondas em meios contínuos.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte (a). Queremos mostrar que a tensão na corrente é
.
Quando um objeto se move em círculo, ele precisa de uma força centrípeta para manter esse movimento. No caso da corrente, essa força vem da tensão na própria corrente. A força centrípeta
para um segmento da corrente de massa linear
e velocidade
é dada por:
Então, a tensão na corrente é igual a essa força centrípeta.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b). Se a corrente rola sobre uma protuberância, um pulso ondulatório se propaga nela. Precisamos encontrar a velocidade de propagação desse pulso.
A velocidade de uma onda em uma corrente rolante sem escorregar depende da tensão
e da massa linear
. A fórmula para a velocidade da onda
é:
Usando a tensão que já encontramos,
, substituímos:
Então, a velocidade de propagação do pulso é igual à velocidade de rolagem da corrente
.
Passo 4
Por último, na parte ©, queremos saber a distância percorrida por um pulso ondulatório em graus durante o tempo que a corrente dá uma volta completa.
Primeiro, vamos calcular o tempo para a corrente dar uma volta completa. Se a velocidade de rolagem é
e o comprimento da corrente é infinito, mas como ela forma um círculo, o período
é:
onde
é o raio do círculo.
Agora, a distância percorrida pelo pulso na corrente em tempo
é:
Convertendo para graus, já que uma volta completa é
, o pulso percorre
durante o tempo que a corrente dá uma volta.
Resposta
(a) A tensão na corrente é
.
(b) A velocidade de propagação do pulso ondulatório é
.
© O pulso percorre
na corrente durante o tempo necessário para a corrente dar uma volta completa.