Uma corda fixada nas extremidades, esticada ao longo do eixo x é posta em vibração. Com base em conceitos físicos é possivel mostrar que o deslocamento representado pela função y=y(x, t) onde ( x, t) representa a corda na posição x e no instante t, satisfaz a equação unidimensional da onda partial^2 ye^2=a^2 partial^2 ypartial x^2, onde a constante a depende da densidade e da tensão da corda. Mostre que as funçöes que seguem satisfazem essa equaçâo:
y(x, t)=cosh (3(x-a t))
R. e^2 ypartial^2=9 a^2 cosh (3 x-3 a t) ; e^2 yc^2=9 cosh (3 x-3 a t).
Como partial^2 ypartial t^2=a^2 partial^2 ypartial x^2, a equação y(x, t)=cosh (3(x-a t)) satisfaz a equação da onda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma corda vibrando fixada nas extremidades, que é um clássico exemplo na física para entender ondas. A matéria envolvida aqui é Equações de Onda, que descrevem como as ondas se propagam em diferentes meios. Para resolver, a gente vai precisar calcular as derivadas segundas da função de deslocamento em relação ao tempo e à posição , e então verificar se elas satisfazem a equação da onda dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que nos foi dada:
y(x, t) = cosh(3(x - a t))
Aqui, partial ypartial t = ddt cosh(3(x - a t)) = sinh(3(x - a t)) cdot (-3a) é a função cosseno hiperbólico, que é uma combinação de exponenciais e aparece bastante em soluções de equações diferenciais.
Agora, vamos calcular a segunda derivada de partial^2 ypartial t^2 = ddt ( -3a sinh(3(x - a t)) ) = -3a cdot cosh(3(x - a t)) cdot (-3a) = 9a^2 cosh(3(x - a t)) em relação ao tempo partial ypartial x = ddx cosh(3(x - a t)) = sinh(3(x - a t)) cdot 3 .
Primeiro derivada em relação a partial^2 ypartial x^2 = ddx ( 3 sinh(3(x - a t)) ) = 3 cosh(3(x - a t)) cdot 3 = 9 cosh(3(x - a t)) :
Segunda derivada em relação a :
Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a .
Primeira derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :

Passo 3

Agora que temos as duas segundas derivadas:
partial^2 ypartial t^2 = 9a^2 cosh(3(x - a t))
partial^2 ypartial x^2 = 9 cosh(3(x - a t))
Vamos verificar se a equação da onda é satisfeita:
partial^2 ypartial t^2 = a^2 partial^2 ypartial x^2
Substituindo as derivadas que encontramos:
9a^2 cosh(3(x - a t)) = a^2 cdot 9 cosh(3(x - a t))
Os dois lados da equação são iguais, o que confirma que a função satisfaz a equação da onda.

Resposta

A função satisfaz a equação unidimensional da onda, pois ao calcular suas derivadas segundas em relação ao tempo e à posição, verificamos que é verdadeira.

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Uma corda fixada nas extremidades, esticada ao longo do eixo x é posta em vibração. Com base em conceitos físicos é possivel mostrar que o deslocamento representado pela função y=y(x, t) onde ( x, t) representa a corda na posição x e no instante t, satisfaz a equação unidimensional da onda partial^2 ye^2=a^2 partial^2 ypartial x^2, onde a constante a depende da densidade e da tensão da corda. Mostre que as funçöes que seguem satisfazem essa equaçâo:
z=sin (x+a t)
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