Uma corda fixada nas extremidades, esticada ao longo do eixo
é posta em vibração. Com base em conceitos físicos é possivel mostrar que o deslocamento representado pela função
onde (
representa a corda na posição
e no instante
, satisfaz a equação unidimensional da onda
, onde a constante a depende da densidade e da tensão da corda. Mostre que as funçöes que seguem satisfazem essa equaçâo:
R.
.
Como
, a equação
satisfaz a equação da onda.
R.
Como
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma corda vibrando fixada nas extremidades, que é um clássico exemplo na física para entender ondas. A matéria envolvida aqui é Equações de Onda, que descrevem como as ondas se propagam em diferentes meios. Para resolver, a gente vai precisar calcular as derivadas segundas da função de deslocamento
em relação ao tempo
e à posição
, e então verificar se elas satisfazem a equação da onda dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que nos foi dada:
Aqui,
é a função cosseno hiperbólico, que é uma combinação de exponenciais e aparece bastante em soluções de equações diferenciais.
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação ao tempo
.
Primeiro derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
.
Primeira derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Passo 3
Agora que temos as duas segundas derivadas:
Vamos verificar se a equação da onda é satisfeita:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Os dois lados da equação são iguais, o que confirma que a função
satisfaz a equação da onda.
Resposta
A função
satisfaz a equação unidimensional da onda, pois ao calcular suas derivadas segundas em relação ao tempo e à posição, verificamos que
é verdadeira.
Exercícios relacionados
Represente graficamente os conjuntos a seguir:
Reescreva as desigualdades a seguir na notação de intervalo:
Uma corda fixada nas extremidades, esticada ao longo do eixo
é posta em vibração. Com base em conceitos físicos é possivel mostrar que o deslocamento representado pela função
onde (
representa a corda na posição
e no instante
, satisfaz a equação unidimensional da onda
, onde a constante a depende da densidade e da tensão da corda. Mostre que as funçöes que seguem satisfazem essa equaçâo:
Calcule as expressões a seguir: