Uma corda de 3,2 m de comprimento tem uma massa de 65 g e uma tensão de 604 N , quando presa em suas duas extremidades.
Encontre a frequência (em Hz) e o comprimento de onda (em metros), do modo fundamental (primeiro harmônico).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma corda de 3,2 metros de comprimento, com massa de 65 gramas e uma tensão de 604 Newtons. A gente quer descobrir a frequência em Hertz (Hz) e o comprimento de onda em metros para o modo fundamental, que é o primeiro harmônico.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de ondas na corda, como a velocidade da onda, a frequência e o comprimento de onda. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a densidade linear da corda, que é a massa por unidade de comprimento. Isso ajuda a entender como a massa da corda afeta a velocidade da onda.
A fórmula para densidade linear ( mu) é:
mu = mL
Onde:
  • m é a massa da corda
  • L é o comprimento da corda
A massa está em gramas, então vamos converter para quilogramas:
m = 65 , g = 0,065 , kg
Então,
mu = 0,065 , kg3,2 , m approx 0,0203 , kg/m

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade da onda ( v) na corda. A velocidade depende da tensão ( T) na corda e da densidade linear ( mu) que acabamos de encontrar.
A fórmula para a velocidade da onda é:
v = raizTmu
Substituindo os valores:
v = raiz604 , N0,0203 , kg/m approx raiz29706,4 , m^2/s^2 approx 172,3 , m/s

Passo 4

Agora que temos a velocidade da onda, podemos encontrar a frequência ( f) do primeiro harmônico. No modo fundamental, o comprimento da corda é igual a meio comprimento de onda.
A relação entre o comprimento da corda ( L), o comprimento de onda ( lambda) e a frequência ( f) é:
L = lambda2
Então, resolvemos para lambda:
lambda = 2L = 2 times 3,2 , m = 6,4 , m

Passo 5

Agora que temos o comprimento de onda, podemos usar a relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda para encontrar a frequência:
v = f lambda
Resolvendo para f:
f = vlambda = 172,3 , m/s6,4 , m approx 26,93 , Hz

Resposta

A frequência do modo fundamental é aproximadamente 26,93 Hz e o comprimento de onda é 6,4 metros.

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