Uma onda harmônica numa corda possui uma amplitude de 25 cm , comprimento de onda de 15 cm e um período de
, propagando-se para a direita.
Encontre a velocidade máxima (em cm/s) de um segmento da corda movendo-se transversalmente à direção de propagação da onda.
Encontre a velocidade máxima (em cm/s) de um segmento da corda movendo-se transversalmente à direção de propagação da onda.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de ondas mecânicas numa corda. A gente tem os seguintes dados: a amplitude é de 25 cm, o comprimento de onda é de 15 cm e o período é de 0,22 segundos. O objetivo é encontrar a velocidade máxima de um ponto da corda que está se movendo para cima e para baixo enquanto a onda passa. Para isso, vamos usar conceitos básicos de ondas harmônicas e derivadas para calcular a velocidade máxima.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade máxima de um ponto na corda ocorre quando a derivada da posição em relação ao tempo atinge seu valor máximo. A posição de um ponto na corda pode ser descrita pela equação da onda harmônica:
Aqui, $ A $ é a amplitude, $ k $ é o número de onda, e $ \omega $ é a frequência angular.
Passo 3
Vamos calcular a frequência angular $ \omega $. Sabemos que o período $ T $ é o tempo que a onda leva para completar uma oscilação, e a relação entre frequência angular e período é:
Substituindo o valor de $ T $:
Passo 4
Calculando $ \omega $:
Passo 5
Agora, a velocidade de um ponto na corda é a derivada de $ y $ em relação ao tempo:
A velocidade máxima ocorre quando o cosseno é igual a 1, então:
Passo 6
Vamos substituir os valores de $ A $ e $ \omega $:
Passo 7
Multiplicando os valores:
Resposta
A velocidade máxima do segmento da corda é aproximadamente 714 cm/s.