Uma corda de massa M e comprimento 3 L é abandonada do repouso na posição vertical apoiada em um pino como mostra a figura. Se a gravidade local vale g, determine a velocidade da corda no instante em que ela perder o contato com o pino. Admita que todos os atritos sejam desprezíveis.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma corda com massa e comprimento que está na posição vertical, apoiada num pino. A corda é solta do repouso, e precisamos descobrir qual é a velocidade dela no exato momento em que ela perde o contato com o pino. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia e dinâmicas de rotação, assumindo que não há atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a conservação da energia. No início, a corda está em repouso, então sua energia cinética é zero. Ao soltar a corda, ela começa a se mover e gira em torno do pino. A energia potencial gravitacional da corda será convertida em energia cinética rotacional.

Passo 3

Vamos calcular a variação da energia potencial. A corda tem comprimento total , então o centro de massa está inicialmente a uma distância abaixo do pino. Quando a corda começa a girar, o centro de massa se eleva. No ponto em que a corda perde o contato com o pino, o centro de massa estará verticalmente abaixo do pino novamente, mas com uma velocidade .

Passo 4

A energia potencial inicial Ui = M g ( 3L2 ) é dada por:
K = 12 I omega^2
E a energia cinética rotacional quando a corda está se movendo é:
onde é o momento de inércia da corda e é a velocidade angular.

Passo 5

Para uma corda fina rotando em torno de um dos extremos, o momento de inércia é:
I = 13 M (3L)^2 = 3 M L^2
A velocidade linear v = omega times 3L Rightarrow omega = v3L está relacionada à velocidade angular por:

Passo 6

Substituindo K = 12 times 3 M L^2 times ( v3L )^2 = 12 times 3 M L^2 times v^29 L^2 = M v^26 e na expressão de :

Passo 7

Pela conservação da energia, a energia potencial perdida é igual à energia cinética adquirida:
M g ( 3L2 ) = M v^26
Simplificando g ( 3L2 ) = v^26 dos dois lados:

Passo 8

Resolvendo para v^2 = 6 times g times 3L2 = 9 g L :
v = raiz9 g L = 3 raizg L

Resposta

A velocidade da corda no instante em que ela perde o contato com o pino é .

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