Uma corda de massa
e comprimento 3 L é abandonada do repouso na posição vertical apoiada em um pino como mostra a figura. Se a gravidade local vale g, determine a velocidade da corda no instante em que ela perder o contato com o pino. Admita que todos os atritos sejam desprezíveis.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma corda com massa
e comprimento
que está na posição vertical, apoiada num pino. A corda é solta do repouso, e precisamos descobrir qual é a velocidade dela no exato momento em que ela perde o contato com o pino. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia e dinâmicas de rotação, assumindo que não há atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a conservação da energia. No início, a corda está em repouso, então sua energia cinética é zero. Ao soltar a corda, ela começa a se mover e gira em torno do pino. A energia potencial gravitacional da corda será convertida em energia cinética rotacional.
Passo 3
Vamos calcular a variação da energia potencial. A corda tem comprimento total
, então o centro de massa está inicialmente a uma distância
abaixo do pino. Quando a corda começa a girar, o centro de massa se eleva. No ponto em que a corda perde o contato com o pino, o centro de massa estará verticalmente abaixo do pino novamente, mas com uma velocidade
.
Passo 4
A energia potencial inicial
é dada por:
E a energia cinética rotacional
quando a corda está se movendo é:
onde
é o momento de inércia da corda e
é a velocidade angular.
Passo 5
Para uma corda fina rotando em torno de um dos extremos, o momento de inércia é:
A velocidade linear
está relacionada à velocidade angular por:
Passo 6
Substituindo
e
na expressão de
:
Passo 7
Pela conservação da energia, a energia potencial perdida é igual à energia cinética adquirida:
Simplificando
dos dois lados:
Passo 8
Resolvendo para
:
Resposta
A velocidade da corda no instante em que ela perde o contato com o pino é
.