A potência P fornecida a um corpo inicialmente em repouso varia com o tempo t como P=k t^2 onde k é uma constante. Determine a velocidade do corpo em um instante de tempo t qualquer.

Passo 1

Então, temos um corpo que está inicialmente parado, e a potência que está sendo fornecida a ele varia com o tempo segundo a fórmula . Vamos usar conceitos de física, especificamente de trabalho e energia, para determinar qual é a velocidade do corpo em qualquer instante de tempo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que potência ( P = dWdt ) é a taxa de realização de trabalho ( W = De) no tempo. Isso pode ser expresso pela fórmula:
Como o trabalho realizado em um corpo que se move a uma certa velocidade está relacionado à variação da energia cinética ( ), temos:
onde é a massa do corpo e é a velocidade.

Passo 3

Substituindo a expressão do trabalho na fórmula da potência, temos:
P = ddt ( 12 m v^2 )
Aplicando a derivada, ficamos com:
P = m v dvdt
Aqui, é a aceleração ( ) do corpo.

Passo 4

Sabemos que a potência fornecida varia com o tempo como k t^2 = m v dvdt . Então, podemos igualar as duas expressões para potência:
v , dv = km t^2 , dt
Agora, vamos separar as variáveis e :

Passo 5

Integrando ambos os lados da equação, obtemos:
integral v , dv = integral km t^2 , dt
Resolvendo as integrais:
12 v^2 = k3m t^3 + C
Como o corpo está inicialmente em repouso ( , ), a constante .

Resposta

A velocidade do corpo em qualquer instante de tempo v(t) = raiz 2k3m , t^32 é:

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