A potência
fornecida a um corpo inicialmente em repouso varia com o tempo
como
onde
é uma constante. Determine a velocidade do corpo em um instante de tempo
qualquer.
Passo 1
Então, temos um corpo que está inicialmente parado, e a potência que está sendo fornecida a ele varia com o tempo segundo a fórmula
. Vamos usar conceitos de física, especificamente de trabalho e energia, para determinar qual é a velocidade do corpo em qualquer instante de tempo
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que potência (
) é a taxa de realização de trabalho (
) no tempo. Isso pode ser expresso pela fórmula:
Como o trabalho realizado em um corpo que se move a uma certa velocidade está relacionado à variação da energia cinética (
), temos:
onde
é a massa do corpo e
é a velocidade.
Passo 3
Substituindo a expressão do trabalho na fórmula da potência, temos:
Aplicando a derivada, ficamos com:
Aqui,
é a aceleração (
) do corpo.
Passo 4
Sabemos que a potência fornecida varia com o tempo como
. Então, podemos igualar as duas expressões para potência:
Agora, vamos separar as variáveis
e
:
Passo 5
Integrando ambos os lados da equação, obtemos:
Resolvendo as integrais:
Como o corpo está inicialmente em repouso (
,
), a constante
.
Resposta
A velocidade do corpo em qualquer instante de tempo
é:
Exercícios relacionados
Determine a aceleração escalar média da partícula nos seguintes intervalos de tempo:
c) de at
R:
.
c) de
|
40 | 60 | 40 | 20 |
---|---|---|---|---|
|
1 | 5 | 7 | 12 |
Mostre que a velocidade
alcançada por um carro de massa
dirigido com potência constante
é dada por
onde x é a distância percorrida a partir do repouso.
onde x é a distância percorrida a partir do repouso.
Uma corda de massa
e comprimento 3 L é abandonada do repouso na posição vertical apoiada em um pino como mostra a figura. Se a gravidade local vale g, determine a velocidade da corda no instante em que ela perder o contato com o pino. Admita que todos os atritos sejam desprezíveis.
Uma corrente de massa uniforme
e comprimento
é mantida numa mesa horizontal sem atrito com
de seu comprimento pendurado sobre a borda da mesa. O Professor Gomes pede que se determine o trabalho feito para puxar a corrente para cima na mesa.