A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x varia com o tempo de acordo com a equação x=c t^2 - bt ^3, onde x está em metros e t em segundos.
c) Determine a velocidade e a aceleração da partícula nos instantes t=1,0 s, t=2,0 s, t=3,0 s e t=4,0 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a posição de uma partícula ao longo do eixo x varia com o tempo segundo a equação , onde está em metros e em segundos. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo diferencial, especificamente derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração da partícula. Para resolver, vamos precisar derivar a função de posição em relação ao tempo para achar a velocidade e depois derivar a velocidade para encontrar a aceleração. Vamos calcular isso nos instantes de s, s, s e s.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja,
v(t) = dxdt
Dada a função ddt(c t^2) = 2c t , vamos derivar termo a termo:
ddt(-b t^3) = -3b t^2
v(t) = 2c t - 3b t^2
Então, a velocidade fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja,
a(t) = dvdt
Já sabemos que ddt(2c t) = 2c . Vamos derivar novamente termo a termo:
ddt(-3b t^2) = -6b t
a(t) = 2c - 6b t
Então, a aceleração fica:

Passo 4

Agora que temos as expressões para velocidade e aceleração, vamos calcular os valores nos instantes solicitados.
Para v(1) = 2c times 1 - 3b times 1^2 = 2c - 3b s:
a(1) = 2c - 6b times 1 = 2c - 6b
v(2) = 2c times 2 - 3b times 2^2 = 4c - 12b
Para a(2) = 2c - 6b times 2 = 2c - 12b s:
v(3) = 2c times 3 - 3b times 3^2 = 6c - 27b
a(3) = 2c - 6b times 3 = 2c - 18b
Para v(4) = 2c times 4 - 3b times 4^2 = 8c - 48b s:
a(4) = 2c - 6b times 4 = 2c - 24b
Para s:

Resposta

A velocidade e a aceleração da partícula nos instantes solicitados são:
  • Para v(1) = 2c - 3b m/s s:
    a(1) = 2c - 6b m/s^2
    v(2) = 4c - 12b m/s
  • Para a(2) = 2c - 12b m/s^2 s:
    v(3) = 6c - 27b m/s
    a(3) = 2c - 18b m/s^2
  • Para v(4) = 8c - 48b m/s s:
    a(4) = 2c - 24b m/s^2
  • Para s:

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