Uma corrente de massa uniforme
e comprimento
é mantida numa mesa horizontal sem atrito com
de seu comprimento pendurado sobre a borda da mesa. O Professor Gomes pede que se determine o trabalho feito para puxar a corrente para cima na mesa.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma corrente (ou uma corda) de massa uniforme
e comprimento total
. Parte dela, exatamente
do comprimento total, está pendurada sobre a borda de uma mesa horizontal que é sem atrito. O que precisamos descobrir é quanto trabalho é feito para puxar toda a corrente para cima, ou seja, para colocá-la completamente sobre a mesa.
Aqui, vamos usar conceitos de Trabalho na Física, que é a energia transferida por uma força agindo sobre um objeto enquanto ele se move. A fórmula básica do trabalho (
) é:
onde
é a força aplicada e
é a distância ao longo da qual a força é aplicada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte da corrente que está pendurada. Sabemos que
do comprimento total
está pendurado sobre a mesa. Então, o comprimento pendurado é:
Como a corrente tem massa uniforme, a massa pendurada (
) é proporcional ao comprimento pendurado:
Passo 3
Para puxar a corrente para cima, precisamos levantar essa massa
contra a gravidade. A força necessária para levantar a corrente é igual ao peso da parte pendurada:
onde
é a aceleração devido à gravidade (aproximadamente
).
Passo 4
Agora, precisamos determinar a distância (
) que essa parte da corrente vai subir. Como estamos puxando a parte pendurada para cima até ela ficar totalmente sobre a mesa, a distância que o centro de massa da parte pendurada precisa subir é metade do comprimento pendurado, ou seja:
Passo 5
Aplicando a fórmula do trabalho:
Simplificando a expressão:
Resposta
O trabalho realizado para puxar a corrente para cima na mesa é:
Exercícios relacionados
Uma corda de massa
e comprimento 3 L é abandonada do repouso na posição vertical apoiada em um pino como mostra a figura. Se a gravidade local vale g, determine a velocidade da corda no instante em que ela perder o contato com o pino. Admita que todos os atritos sejam desprezíveis.
A potência
fornecida a um corpo inicialmente em repouso varia com o tempo
como
onde
é uma constante. Determine a velocidade do corpo em um instante de tempo
qualquer.
A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x varia com o tempo de acordo com a equação
- bt
, onde x está em metros e
em segundos.
c) Determine a velocidade e a aceleração da partícula nos instantes s e
s.
c) Determine a velocidade e a aceleração da partícula nos instantes
Como deve variar a potência do motor de uma bomba, para que ela possa bombear, através de um orifício fino, o dobro da quantidade de água por unidade de tempo? O atrito é desprezado.