Uma corda oscila de acordo com a equação
y=(0,40 cm) sen[(pi / 3 cm^-1) x] cos [(40 pi s^-1) t].
Quais são (b) a velocidade das duas ondas (iguais, exceto pelo sentido de propagação) cuja superposição produz esta oscilação?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma corda que está oscilando de acordo com a equação:
y = (0,40, cm) cdot sin[(pi3, cm^-1) x] cdot cos[(40, pi, s^-1) t]
O conteúdo aqui envolve ondas e superposição de ondas. A questão pede para calcular a velocidade das duas ondas que, quando somadas, produzem essa oscilação. Para resolver, vamos precisar entender como a superposição de ondas funciona e como relacionar os parâmetros da equação dada com a velocidade das ondas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando duas ondas de mesma frequência e amplitude se movem em direções opostas, a superposição delas pode ser expressa como:
y = 2A cdot sin(kx) cdot cos(omega t)
Onde:
  • y = (0,40, cm) cdot sin(pi3, cm^-1 cdot x) cdot cos(40, pi, s^-1 cdot t) é a amplitude de cada onda individual.
  • 2A = 0,40, cm Rightarrow A = 0,20, cm é o número de onda.
  • é a frequência angular.
Comparando com a equação dada no exercício:
Podemos identificar que:
Então, cada onda individual tem uma amplitude de 0,20 cm.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores de k = pi3, cm^-1 e omega = 40, pi, s^-1 na equação:
v = omegak
Esses valores nos ajudam a calcular a velocidade das ondas. A velocidade ( ) de uma onda está relacionada a e pela fórmula:

Passo 4

Vamos substituir os valores de v = 40, pi, s^-1pi3, cm^-1 = 40, pi cdot 3pi = 120, cm/s e na fórmula da velocidade:
A divisão dos cancela, e multiplicamos 40 por 3 para chegar à velocidade.

Passo 5

Portanto, a velocidade de cada uma das duas ondas é de 120 cm/s. É importante notar que ambas as ondas têm a mesma velocidade, mas se movem em direções opostas na corda.

Resposta

A velocidade das duas ondas que produzem a oscilação é de 120 cm/s cada.

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