Uma superfície cônica tem uma densidade superficial de cargas
. Determine a diferença de potencial entre o vértice do cone e o centro de sua base. (Dado: a altura
e o raio da base
são iguais).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um cone com uma densidade superficial de carga
. A missão é descobrir qual é a diferença de potencial elétrico entre o vértice do cone e o centro da base. Isso tudo entra na matéria de Eletrostática, onde vamos usar a fórmula do potencial elétrico devido a uma distribuição contínua de carga. Vamos precisar considerar a geometria do cone e integrar as contribuições de potencial de cada pedacinho de carga na superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o cone. Ele tem altura
e raio da base
, e já que
, isso simplifica um pouco as coisas. Para calcular o potencial, vamos usar a fórmula do potencial elétrico devido a uma distribuição de carga superficial:
Aqui,
é a densidade superficial de carga,
é um elemento de área na superfície do cone, e
é a distância desse elemento de carga até o ponto onde estamos calculando o potencial.
Passo 3
Vamos parametrizar o cone usando coordenadas polares. Imaginem cortar o cone em anéis circulares de raio variável. A distância
do vértice a um ponto nesse anel vai ser igual ao comprimento da geratriz do cone, que, como
, é:
Isso significa que cada elemento de carga está a uma distância
do vértice.
Passo 4
Agora, vamos calcular o elemento de área
para um anel no cone. A área de um anel é
, mas no nosso caso, como o cone está inclinado, precisamos relacionar
com um pequeno deslocamento ao longo da geratriz. Usando semelhança de triângulos:
Onde
é um pequeno deslocamento vertical.
Passo 5
Substituindo tudo na integral do potencial, temos:
Agora, integramos de
(vértice) até
(base):
Resposta
A diferença de potencial entre o vértice do cone e o centro da base é:
Ou simplificando: