Uma superfície cônica tem uma densidade superficial de cargas sigma. Determine a diferença de potencial entre o vértice do cone e o centro de sua base. (Dado: a altura h e o raio da base R são iguais).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cone com uma densidade superficial de carga . A missão é descobrir qual é a diferença de potencial elétrico entre o vértice do cone e o centro da base. Isso tudo entra na matéria de Eletrostática, onde vamos usar a fórmula do potencial elétrico devido a uma distribuição contínua de carga. Vamos precisar considerar a geometria do cone e integrar as contribuições de potencial de cada pedacinho de carga na superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o cone. Ele tem altura V = 14pivarepsilon0 integral sigma , dAr e raio da base , e já que , isso simplifica um pouco as coisas. Para calcular o potencial, vamos usar a fórmula do potencial elétrico devido a uma distribuição de carga superficial:
Aqui, é a densidade superficial de carga, é um elemento de área na superfície do cone, e é a distância desse elemento de carga até o ponto onde estamos calculando o potencial.

Passo 3

Vamos parametrizar o cone usando coordenadas polares. Imaginem cortar o cone em anéis circulares de raio variável. A distância l = raizh^2 + R^2 = raizR^2 + R^2 = Rraiz2 do vértice a um ponto nesse anel vai ser igual ao comprimento da geratriz do cone, que, como , é:
Isso significa que cada elemento de carga está a uma distância do vértice.

Passo 4

Agora, vamos calcular o elemento de área rh = Rl Rightarrow dr = hl , dz para um anel no cone. A área de um anel é , mas no nosso caso, como o cone está inclinado, precisamos relacionar com um pequeno deslocamento ao longo da geratriz. Usando semelhança de triângulos:
Onde é um pequeno deslocamento vertical.

Passo 5

Substituindo tudo na integral do potencial, temos:
V = sigma4pivarepsilon0 integral 2pi r cdot drl = sigma2varepsilon0 l integral r , dr
Agora, integramos de V = sigma2varepsilon0 l [ r^22 ]0^R = sigma R^24varepsilon0 l (vértice) até (base):

Resposta

A diferença de potencial entre o vértice do cone e o centro da base é:
V = sigma R^24varepsilon0 Rraiz2 = sigma R4varepsilon0 raiz2
Ou simplificando:
V = sigma R4raiz2, varepsilon0

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