O potencial coulombiano de uma carga q centrada na origem, atenuado pela presença de demais elétrons ocorre comumente em um condutor e é dado por:
V(r)=q4 pi varepsilon0 e^-rlambdar
sendo lambda uma constante atribuída ao condutor. Determine:
a-) [0,5 pt] o campo elétrico; b-) [0,5 pt] a densidade de cargas;
c-) [0,5 pt] a carga total atribuída a esse potencial.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um potencial coulombiano modificado, que descreve o potencial elétrico V(r)=q4 pi varepsilon0 e^-rlambdar devido a uma carga localizada na origem, considerando a atenuação causada pela presença de elétrons no condutor. O potencial é dado por:
Aqui, é uma constante característica do condutor. Precisamos determinar:
a) O campo elétrico ;
b) A densidade de cargas ;
c) A carga total associada a esse potencial.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de Eletrostática, especificamente sobre como relacionar o potencial elétrico com o campo elétrico e a densidade de carga.

Passo 2

Vamos começar encontrando o campo elétrico E = -nabla V . Sabemos que o campo elétrico está relacionado ao potencial elétrico pela relação:
Isso significa que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial. Nosso objetivo é calcular a derivada do potencial dado em relação às coordenadas espaciais.

Passo 3

Calculando o gradiente do potencial V(r) = q4 pi varepsilon0 e^-rlambdar :
dVdr = q4 pi varepsilon0 ( -e^-rlambdar^2 - e^-rlambdalambda r ) = q4 pi varepsilon0 e^-rlambdar^2 ( -1 - rlambda )
Como o potencial é esférico, o gradiente em coordenadas esféricas fica apenas na direção radial. Portanto, a derivada em relação a é:

Passo 4

Agora, aplicando a relação E(r) = -dVdr r = q4 pi varepsilon0 e^-rlambdar^2 ( 1 + rlambda ) r :
Onde é o vetor unitário na direção radial.

Passo 5

Agora, para encontrar a densidade de cargas nabla cdot E = rhovarepsilon0 , usamos a equação de Poisson:
Calculando a divergência do campo elétrico que obtivemos.

Passo 6

Calculando a divergência em coordenadas esféricas:
nabla cdot E = 1r^2 ddr ( r^2 E(r) )
Substituindo nabla cdot E = 1r^2 ddr ( r^2 cdot q4 pi varepsilon0 e^-rlambdar^2 ( 1 + rlambda ) ) :
nabla cdot E = q4 pi varepsilon0 ddr ( e^-rlambda ( 1 + rlambda ) )
Simplificando:

Passo 7

Calculando a derivada:
ddr ( e^-rlambda ( 1 + rlambda ) ) = -1lambda e^-rlambda ( 1 + rlambda ) + e^-rlambda cdot 1lambda = -1lambda e^-rlambda
Portanto:
nabla cdot E = q4 pi varepsilon0 ( -1lambda e^-rlambda ) = -q4 pi varepsilon0 lambda e^-rlambda

Passo 8

Agora, usando a equação de Poisson:
-q4 pi varepsilon0 lambda e^-rlambda = rhovarepsilon0
Isolando rho(r) = -q4 pi lambda e^-rlambda :

Passo 9

Por fim, para encontrar a carga total associada a esse potencial, integramos a densidade de carga sobre todo o espaço:
Q = integral rho(r) , dV = integral0^infty ( -q4 pi lambda e^-rlambda ) 4 pi r^2 dr
Simplificando:
Q = -qlambda integral0^infty r^2 e^-rlambda dr
Sabemos que:
integral0^infty r^2 e^-rlambda dr = 2 lambda^3
Portanto:
Q = -qlambda cdot 2 lambda^3 = -2 q lambda^2

Resposta

a) O campo elétrico é:
E(r) = q4 pi varepsilon0 e^-rlambdar^2 ( 1 + rlambda ) r
b) A densidade de cargas é:
rho(r) = -q4 pi lambda e^-rlambda
c) A carga total atribuída a esse potencial é:
Q = -2 q lambda^2

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