O potencial coulombiano de uma carga centrada na origem, atenuado pela presença de demais elétrons ocorre comumente em um condutor e é dado por:
sendo uma constante atribuída ao condutor. Determine:
a-) o campo elétrico; b-) a densidade de cargas;
c-) a carga total atribuída a esse potencial.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um potencial coulombiano modificado, que descreve o potencial elétrico devido a uma carga localizada na origem, considerando a atenuação causada pela presença de elétrons no condutor. O potencial é dado por:
Aqui, é uma constante característica do condutor. Precisamos determinar:
a) O campo elétrico ;
b) A densidade de cargas ;
c) A carga total associada a esse potencial.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de Eletrostática, especificamente sobre como relacionar o potencial elétrico com o campo elétrico e a densidade de carga.

Passo 2

Vamos começar encontrando o campo elétrico . Sabemos que o campo elétrico está relacionado ao potencial elétrico pela relação:
Isso significa que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial. Nosso objetivo é calcular a derivada do potencial dado em relação às coordenadas espaciais.

Passo 3

Calculando o gradiente do potencial :
Como o potencial é esférico, o gradiente em coordenadas esféricas fica apenas na direção radial. Portanto, a derivada em relação a é:

Passo 4

Agora, aplicando a relação :
Onde é o vetor unitário na direção radial.

Passo 5

Agora, para encontrar a densidade de cargas , usamos a equação de Poisson:
Calculando a divergência do campo elétrico que obtivemos.

Passo 6

Calculando a divergência em coordenadas esféricas:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 7

Calculando a derivada:
Portanto:

Passo 8

Agora, usando a equação de Poisson:
Isolando :

Passo 9

Por fim, para encontrar a carga total associada a esse potencial, integramos a densidade de carga sobre todo o espaço:
Simplificando:
Sabemos que:
Portanto:

Resposta

a) O campo elétrico é:
b) A densidade de cargas é:
c) A carga total atribuída a esse potencial é:

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