O potencial coulombiano de uma carga
centrada na origem, atenuado pela presença de demais elétrons ocorre comumente em um condutor e é dado por:
sendo
uma constante atribuída ao condutor. Determine:
a-)
o campo elétrico; b-)
a densidade de cargas;
c-)
a carga total atribuída a esse potencial.
a-)
c-)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um potencial coulombiano modificado, que descreve o potencial elétrico
devido a uma carga
localizada na origem, considerando a atenuação causada pela presença de elétrons no condutor. O potencial é dado por:
Aqui,
é uma constante característica do condutor. Precisamos determinar:
a) O campo elétrico ;
b) A densidade de cargas ;
c) A carga total associada a esse potencial.
a) O campo elétrico
b) A densidade de cargas
c) A carga total associada a esse potencial.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de Eletrostática, especificamente sobre como relacionar o potencial elétrico com o campo elétrico e a densidade de carga.
Passo 2
Vamos começar encontrando o campo elétrico
. Sabemos que o campo elétrico está relacionado ao potencial elétrico pela relação:
Isso significa que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial. Nosso objetivo é calcular a derivada do potencial dado em relação às coordenadas espaciais.
Passo 3
Calculando o gradiente do potencial
:
Como o potencial é esférico, o gradiente em coordenadas esféricas fica apenas na direção radial. Portanto, a derivada em relação a
é:
Passo 4
Agora, aplicando a relação
:
Onde
é o vetor unitário na direção radial.
Passo 5
Agora, para encontrar a densidade de cargas
, usamos a equação de Poisson:
Calculando a divergência do campo elétrico que obtivemos.
Passo 6
Calculando a divergência em coordenadas esféricas:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 7
Calculando a derivada:
Portanto:
Passo 8
Agora, usando a equação de Poisson:
Isolando
:
Passo 9
Por fim, para encontrar a carga total associada a esse potencial, integramos a densidade de carga sobre todo o espaço:
Simplificando:
Sabemos que:
Portanto:
Resposta
a) O campo elétrico é:
b) A densidade de cargas é:
c) A carga total atribuída a esse potencial é:
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