Prove que as duas raízes reais da equação
, Equação (3.75), que estão entre +1 e -1 são iguais no caso de pêndulo cônico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que as duas raízes reais da equação $ f(u) = 0 $ (que está na Equação (3.75)) estão entre +1 e -1 e que, no caso do pêndulo cônico, essas duas raízes são iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações quadráticas e como as raízes se comportam, especialmente no contexto de um pêndulo cônico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação quadrática tem a forma geral:
As raízes dessa equação são dadas pela fórmula de Bhaskara:
Aqui, o termo dentro da raiz, $ b^2 - 4ac $, é chamado de discriminante.
Passo 3
Para que a equação tenha duas raízes reais, o discriminante precisa ser positivo:
No entanto, se quisermos que as duas raízes sejam iguais, o discriminante deve ser igual a zero:
Isso significa que a equação tem uma única raiz real dupla.
Passo 4
No caso específico do pêndulo cônico, a configuração do sistema faz com que as forças envolvidas gerem uma condição onde as raízes da equação $ f(u) = 0 $ se igualam. Isso ocorre porque, para manter o equilíbrio do pêndulo em movimento circular, certos parâmetros (como a velocidade angular e o ângulo do fio) precisam satisfazer essa condição de raízes iguais.
Passo 5
Portanto, ao aplicar a condição $ b^2 - 4ac = 0 $ à Equação (3.75) do pêndulo cônico, concluímos que as duas raízes reais que estão entre +1 e -1 devem ser iguais. Isso garante que o pêndulo mantenha seu movimento estável e equilibrado na configuração cônica.
Resposta
As duas raízes reais da equação $ f(u) = 0 $ que estão entre +1 e -1 são iguais no caso do pêndulo cônico.