Uma corda pesada de 3 m de comprimento está presa ao teto de uma sala e pende livremente. (a) Mostrar que a velocidade das ondas trans-versais na corda é independente da sua massa e do seu comprimento mas depende da distância y em relação ao chão de acordo com v=raizg y. (b) Se a extremidade pendente da corda receber um deslocamento lateral momentâneo, quanto tempo leva o pulso ondulatório resultante para ir até o teto, refletir-se e retornar até a extremidade livre?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma corda pesada de 3 metros pendurada no teto e que oscila livremente. No item (a), precisamos mostrar que a velocidade das ondas transversais nessa corda não depende da massa ou do comprimento da corda, mas sim da distância em relação ao chão, seguindo a relação . No item (b), queremos saber quanto tempo um pulso gerado na extremidade livre da corda leva para ir até o teto, refletir e voltar.

Passo 2

Para resolver o item (a), vamos lembrar que a velocidade de uma onda transversal em uma corda é dada pela fórmula:
v = raizTmu
onde é a tensão na corda e é a massa linear da corda (massa por unidade de comprimento).

Passo 3

Primeiro, precisamos determinar a tensão na corda. Como a corda está pendurada verticalmente, a tensão em um ponto a uma altura da extremidade livre é igual ao peso da parte da corda que está abaixo desse ponto. Se considerarmos uma pequena seção de comprimento da corda, a massa dessa seção é , onde é a massa linear.

Passo 4

A massa total abaixo do ponto a uma altura m = integral0^y mu , dy = mu y é a integral de T = m g = mu y g de 0 até :
Portanto, a tensão nesse ponto é o peso dessa massa:

Passo 5

Agora, substituímos a expressão da tensão v = raizTmu = raizmu y gmu = raizg y na fórmula da velocidade da onda:

Passo 6

Observamos que a massa linear e o comprimento total da corda não aparecem na expressão final da velocidade . Isso mostra que a velocidade das ondas transversais na corda é independente da massa e do comprimento da corda, dependendo apenas da distância do ponto em relação ao chão, de acordo com .

Passo 7

Para o item (b), queremos calcular o tempo que um pulso leva para ir da extremidade livre até o teto e voltar. Sabemos que a velocidade do pulso depende da posição, já que .

Passo 8

Vamos considerar que a corda está vertical, com variando de 0 (no chão) até 3 metros (no teto). O tempo que o pulso leva para percorrer um pequeno intervalo é .

Passo 9

Para encontrar o tempo total de subida, integramos tsubida = integral0^3 dyraizg y = 2raizg raizy g|0^3 = 2raizg raiz3 de até metros:

Passo 10

O tempo de descida é o mesmo que o de subida, já que o caminho de volta também percorre 3 metros com a mesma velocidade média. Portanto, o tempo total ttotal = 2 tsubida = 2 ( 2 raiz3raizg ) = 4 raiz3raizg é:

Resposta

O tempo que o pulso ondulatório leva para ir até o teto, refletir-se e retornar até a extremidade livre é segundos.

Exercícios relacionados

As funçõs de onda de duas ondas estacionárias, numa corda de comprimento L, são
& y1(x, t)=A1 cos omega1 t sen k1 x & y2(x, t)=A2 cos omega2 t sen k2 x
onde kn=n pi / L e omegan=n omega1. A função de onda da onda resultante é
yr(x, t)=y1(x, t)+y2(x, t)
(a) Achar a velocidade de um segmento d x da corda. (b) Achar a energia cinética deste segmento. © Por integração, achar a energia cinética total da onda resultante. Observar o desaparecimento dos termos com os produtos cruzados, de modo que a energia cinética total é proporcional a (n1 A1)^2+(n2 A2)^2.
Três ondas de mesma freqüência, mesmo comprimento de onda e mesma amplitude estão se deslocando numa mesmà direção. As três ondas são dadas por
& y1(x, t)=0,05 sen(k x-omega t-pi3) & y2(x, t)=0,05 sen(k x-omega t) & y3(x, t)=0,05 sen(k x-omega t+pi3)
(a) Mostrar que se a tensão numa corda, fixa nas duas extremidades, for alterada de uma pequena grandeza d F, a freqüência do modo fundamental será alterada por aproximadamente d f, onde d f f f=d F / 2 F (ver o Problema 54). Este resultado aplica-se a qualquer harmônico? ( b ) Usar este resultado para achar a variação percentual da tensão necessária para elevar, de 260 Hz para 262 Hz , a freqüência da fundamental de uma corda de piano.
Uma onda estacionária numa corda está representada pela seguinte função de onda:
y(x, t)=0,02 sen pi x2 cos 40 pi t
onde x e y estão em metros e t em segundos. (a) Escrever as funções de onda de duas ondas não-estacionárias que, quando superpostas, provocam esta onda estacionária. (b) Qual a distância entre os nós da onda estacionária? © Qual a velocidade de um segmento da corda em x= 1 m ? (d) Qual a aceleração de um segmento da corda em x=1 m ?