Uma corda pesada de 3 m de comprimento está presa ao teto de uma sala e pende livremente. (a) Mostrar que a velocidade das ondas trans-versais na corda é independente da sua massa e do seu comprimento mas depende da distância em relação ao chão de acordo com . (b) Se a extremidade pendente da corda receber um deslocamento lateral momentâneo, quanto tempo leva o pulso ondulatório resultante para ir até o teto, refletir-se e retornar até a extremidade livre?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma corda pesada de 3 metros pendurada no teto e que oscila livremente. No item (a), precisamos mostrar que a velocidade das ondas transversais nessa corda não depende da massa ou do comprimento da corda, mas sim da distância em relação ao chão, seguindo a relação . No item (b), queremos saber quanto tempo um pulso gerado na extremidade livre da corda leva para ir até o teto, refletir e voltar.
Passo 2
Para resolver o item (a), vamos lembrar que a velocidade de uma onda transversal em uma corda é dada pela fórmula:
onde é a tensão na corda e é a massa linear da corda (massa por unidade de comprimento).
Passo 3
Primeiro, precisamos determinar a tensão na corda. Como a corda está pendurada verticalmente, a tensão em um ponto a uma altura da extremidade livre é igual ao peso da parte da corda que está abaixo desse ponto. Se considerarmos uma pequena seção de comprimento da corda, a massa dessa seção é , onde é a massa linear.
Passo 4
A massa total abaixo do ponto a uma altura é a integral de de 0 até :
Portanto, a tensão nesse ponto é o peso dessa massa:
Passo 5
Agora, substituímos a expressão da tensão na fórmula da velocidade da onda:
Passo 6
Observamos que a massa linear e o comprimento total da corda não aparecem na expressão final da velocidade . Isso mostra que a velocidade das ondas transversais na corda é independente da massa e do comprimento da corda, dependendo apenas da distância do ponto em relação ao chão, de acordo com .
Passo 7
Para o item (b), queremos calcular o tempo que um pulso leva para ir da extremidade livre até o teto e voltar. Sabemos que a velocidade do pulso depende da posição, já que .
Passo 8
Vamos considerar que a corda está vertical, com variando de 0 (no chão) até 3 metros (no teto). O tempo que o pulso leva para percorrer um pequeno intervalo é .
Passo 9
Para encontrar o tempo total de subida, integramos de até metros:
Passo 10
O tempo de descida é o mesmo que o de subida, já que o caminho de volta também percorre 3 metros com a mesma velocidade média. Portanto, o tempo total ttotal = 2 tsubida = 2 ( 2 raiz3raizg ) = 4 raiz3raizg é:
Resposta
O tempo que o pulso ondulatório leva para ir até o teto, refletir-se e retornar até a extremidade livre é segundos.