Uma corda pesada de 3 m de comprimento está presa ao teto de uma sala e pende livremente. (a) Mostrar que a velocidade das ondas trans-versais na corda é independente da sua massa e do seu comprimento mas depende da distância y em relação ao chão de acordo com v=raizg y. (b) Se a extremidade pendente da corda receber um deslocamento lateral momentâneo, quanto tempo leva o pulso ondulatório resultante para ir até o teto, refletir-se e retornar até a extremidade livre?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma corda pesada de 3 metros pendurada no teto e que oscila livremente. No item (a), precisamos mostrar que a velocidade das ondas transversais nessa corda não depende da massa ou do comprimento da corda, mas sim da distância em relação ao chão, seguindo a relação . No item (b), queremos saber quanto tempo um pulso gerado na extremidade livre da corda leva para ir até o teto, refletir e voltar.

Passo 2

Para resolver o item (a), vamos lembrar que a velocidade de uma onda transversal em uma corda é dada pela fórmula:
v = raizTmu
onde é a tensão na corda e é a massa linear da corda (massa por unidade de comprimento).

Passo 3

Primeiro, precisamos determinar a tensão na corda. Como a corda está pendurada verticalmente, a tensão em um ponto a uma altura da extremidade livre é igual ao peso da parte da corda que está abaixo desse ponto. Se considerarmos uma pequena seção de comprimento da corda, a massa dessa seção é , onde é a massa linear.

Passo 4

A massa total abaixo do ponto a uma altura m = integral0^y mu , dy = mu y é a integral de T = m g = mu y g de 0 até :
Portanto, a tensão nesse ponto é o peso dessa massa:

Passo 5

Agora, substituímos a expressão da tensão v = raizTmu = raizmu y gmu = raizg y na fórmula da velocidade da onda:

Passo 6

Observamos que a massa linear e o comprimento total da corda não aparecem na expressão final da velocidade . Isso mostra que a velocidade das ondas transversais na corda é independente da massa e do comprimento da corda, dependendo apenas da distância do ponto em relação ao chão, de acordo com .

Passo 7

Para o item (b), queremos calcular o tempo que um pulso leva para ir da extremidade livre até o teto e voltar. Sabemos que a velocidade do pulso depende da posição, já que .

Passo 8

Vamos considerar que a corda está vertical, com variando de 0 (no chão) até 3 metros (no teto). O tempo que o pulso leva para percorrer um pequeno intervalo é .

Passo 9

Para encontrar o tempo total de subida, integramos tsubida = integral0^3 dyraizg y = 2raizg raizy g|0^3 = 2raizg raiz3 de até metros:

Passo 10

O tempo de descida é o mesmo que o de subida, já que o caminho de volta também percorre 3 metros com a mesma velocidade média. Portanto, o tempo total ttotal = 2 tsubida = 2 ( 2 raiz3raizg ) = 4 raiz3raizg é:

Resposta

O tempo que o pulso ondulatório leva para ir até o teto, refletir-se e retornar até a extremidade livre é segundos.

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