Uma onda estacionária numa corda está representada pela seguinte função de onda:
onde
e
estão em metros e
em segundos. (a) Escrever as funções de onda de duas ondas não-estacionárias que, quando superpostas, provocam esta onda estacionária. (b) Qual a distância entre os nós da onda estacionária? © Qual a velocidade de um segmento da corda em
1 m ? (d) Qual a aceleração de um segmento da corda em
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma função de onda estacionária numa corda, dada por:
O conteúdo principal aqui envolve ondas estacionárias, superposição de ondas, nós e ventres, além de entender como calcular a velocidade e aceleração de um ponto específico na corda. Para resolver as partes (a) a (d), vamos precisar conhecer como ondas estacionárias são formadas pela superposição de duas ondas que se movem em sentidos opostos, além das fórmulas para velocidade e aceleração em ondas.
Passo 2
Parte (a): Escrever as funções de onda de duas ondas não-estacionárias que, quando superpostas, provocam esta onda estacionária.
Primeiro, sabemos que uma onda estacionária pode ser formada pela superposição de duas ondas de mesma amplitude e frequência, mas que se movem em direções opostas. A função geral de uma onda viajando para a direita é:
E para a esquerda:
Quando somamos essas duas ondas, obtemos a expressão para a onda estacionária:
Comparando isso com a função dada no enunciado:
Vemos que:
E:
Então, as duas ondas que se sobrepõem são:
Passo 3
Parte (b): Qual a distância entre os nós da onda estacionária?
Nós são pontos onde a amplitude da onda estacionária é sempre zero. A distância entre dois nós consecutivos pode ser encontrada usando o número de onda
. A distância entre nós, chamada de comprimento de meio ciclo, é dada por:
No nosso caso, temos:
Então, a distância entre os nós é de 2 metros.
Passo 4
Parte ©: Qual a velocidade de um segmento da corda em
?
A velocidade de um ponto na corda é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Dada a função:
Derivando em relação ao tempo
:
Simplificando:
Para
:
A velocidade depende do tempo
e pode variar entre
m/s e
m/s.
Passo 5
Parte (d): Qual a aceleração de um segmento da corda em
?
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição:
Usando a expressão da velocidade que encontramos:
Derivando novamente em relação ao tempo:
Simplificando:
A aceleração também varia com o tempo e pode oscilar entre
m/s² e
m/s².
Resposta
(a) As duas ondas não-estacionárias são:
(b) A distância entre os nós é de 2 metros.
© A velocidade de um segmento da corda em
é:
(d) A aceleração de um segmento da corda em
é:
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e
estão em metros e
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, a densidade linear de massa diminui gradualmente de
a
. Para
, a densidade linear de massa é constante
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? (b) Qual a amplitude da onda para valores gráandes de
? © Dar
para
.
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