Uma onda estacionária numa corda está representada pela seguinte função de onda:
y(x, t)=0,02 sen pi x2 cos 40 pi t
onde x e y estão em metros e t em segundos. (a) Escrever as funções de onda de duas ondas não-estacionárias que, quando superpostas, provocam esta onda estacionária. (b) Qual a distância entre os nós da onda estacionária? © Qual a velocidade de um segmento da corda em x= 1 m ? (d) Qual a aceleração de um segmento da corda em x=1 m ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma função de onda estacionária numa corda, dada por:
O conteúdo principal aqui envolve ondas estacionárias, superposição de ondas, nós e ventres, além de entender como calcular a velocidade e aceleração de um ponto específico na corda. Para resolver as partes (a) a (d), vamos precisar conhecer como ondas estacionárias são formadas pela superposição de duas ondas que se movem em sentidos opostos, além das fórmulas para velocidade e aceleração em ondas.

Passo 2

Parte (a): Escrever as funções de onda de duas ondas não-estacionárias que, quando superpostas, provocam esta onda estacionária.
Primeiro, sabemos que uma onda estacionária pode ser formada pela superposição de duas ondas de mesma amplitude e frequência, mas que se movem em direções opostas. A função geral de uma onda viajando para a direita é:
E para a esquerda:
Quando somamos essas duas ondas, obtemos a expressão para a onda estacionária:
Comparando isso com a função dada no enunciado:
Vemos que:
y1(x, t) = A sen(kx - omega t)
E:
y2(x, t) = A sen(kx + omega t)
Então, as duas ondas que se sobrepõem são:

Passo 3

Parte (b): Qual a distância entre os nós da onda estacionária?
Nós são pontos onde a amplitude da onda estacionária é sempre zero. A distância entre dois nós consecutivos pode ser encontrada usando o número de onda De. A distância entre nós, chamada de comprimento de meio ciclo, é dada por:
k = pi2 Rightarrow De
No nosso caso, temos:
Então, a distância entre os nós é de 2 metros.

Passo 4

Parte ©: Qual a velocidade de um segmento da corda em v(x, t) = partial ypartial t ?
A velocidade de um ponto na corda é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
y(x, t) = 0,02 sen(pi x2) cos(40pi t)
Dada a função:
Derivando em relação ao tempo v(x, t) = partialpartial t [0,02 sen(pi x2) cos(40pi t)] = -0,02 sen(pi x2) cdot 40pi sen(40pi t) :
Simplificando:
Para v(x, t) = -0,8pi sen(pi x2) sen(40pi t) :
A velocidade depende do tempo v(1, t) = -0,8pi sen(pi2) sen(40pi t) = -0,8pi cdot 1 cdot sen(40pi t) = -0,8pi sen(40pi t) e pode variar entre m/s e m/s.

Passo 5

Parte (d): Qual a aceleração de um segmento da corda em a(x, t) = partial vpartial t = partial^2 ypartial t^2 ?
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição:
v(x, t) = -0,8pi sen(40pi t)
Usando a expressão da velocidade que encontramos:
Derivando novamente em relação ao tempo:
Simplificando:
a(x, t) = partialpartial t [-0,8pi sen(40pi t)] = -0,8pi cdot 40pi cos(40pi t)
A aceleração também varia com o tempo e pode oscilar entre a(x, t) = -32pi^2 cos(40pi t) m/s² e m/s².

Resposta

(a) As duas ondas não-estacionárias são:
(b) A distância entre os nós é de 2 metros.
© A velocidade de um segmento da corda em y1(x, t) = 0,01 sen(pi x2 - 40pi t) é:
(d) A aceleração de um segmento da corda em y2(x, t) = 0,01 sen(pi x2 + 40pi t) é:
v(1, t) = -0,8pi sen(40pi t) , m/s

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