(a) Mostrar que se a tensão numa corda, fixa nas duas extremidades, for alterada de uma pequena grandeza d F, a freqüência do modo fundamental será alterada por aproximadamente d f, onde d f f f=d F / 2 F (ver o Problema 54). Este resultado aplica-se a qualquer harmônico? ( b ) Usar este resultado para achar a variação percentual da tensão necessária para elevar, de 260 Hz para 262 Hz , a freqüência da fundamental de uma corda de piano.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma corda fixada nas duas extremidades e a tensão nela é modificada por uma pequena quantidade . A tarefa (a) é mostrar que essa mudança na tensão faz com que a frequência do modo fundamental da corda mude aproximadamente por . Além disso, temos que comentar se esse resultado vale para qualquer harmônico. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como a frequência fundamental de uma corda está relacionada com a tensão e a massa linear da corda.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da frequência fundamental de uma corda fixa nas duas extremidades. A frequência fundamental f = 12L raizFmu é dada por:
Onde:
  • é o comprimento da corda.
  • é a tensão na corda.
  • é a massa linear da corda (massa por unidade de comprimento).

Passo 3

Agora, queremos ver como uma pequena variação na tensão df = ddF( 12L raizFmu ) dF afeta a frequência . Para isso, vamos calcular a variação usando o cálculo diferencial. Diferenciando a expressão de em relação a , temos:

Passo 4

Calculando a derivada:
ddF( 12L raizFmu ) = 12L cdot 12 ( Fmu )^-1/2 cdot 1mu = 14L raizFmu
Portanto:
df = 14L raizFmu dF

Passo 5

Agora, vamos comparar essa expressão com a frequência original f = 12L raizFmu :
df = 12 cdot 12L cdot 1raizFmu dF = dF2F cdot f
Podemos reescrever df = dF2F em termos de :
Simplificando, temos:

Passo 6

Então, mostramos que uma pequena variação na tensão df approx dF2F resulta em uma variação na frequência fundamental fn = n cdot f1 dada por:
Agora, sobre a segunda parte da pergunta: esse resultado se aplica a qualquer harmônico? Sim, a relação geral para os harmônicos é:
Onde é a frequência do n-ésimo harmônico e é a frequência fundamental. A derivada em relação à tensão será a mesma para todos os harmônicos, então a variação percentual na frequência será a mesma para qualquer harmônico.

Resposta

Dessa forma, mostramos que a variação na frequência fundamental devido a uma pequena alteração na tensão é aproximadamente e que esse resultado vale para qualquer harmônico da corda.

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