(a) Mostrar que se a tensão numa corda, fixa nas duas extremidades, for alterada de uma pequena grandeza
, a freqüência do modo fundamental será alterada por aproximadamente
, onde
(ver o Problema 54). Este resultado aplica-se a qualquer harmônico? (
) Usar este resultado para achar a variação percentual da tensão necessária para elevar, de 260 Hz para 262 Hz , a freqüência da fundamental de uma corda de piano.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma corda fixada nas duas extremidades e a tensão nela é modificada por uma pequena quantidade
. A tarefa (a) é mostrar que essa mudança na tensão faz com que a frequência do modo fundamental da corda mude aproximadamente por
. Além disso, temos que comentar se esse resultado vale para qualquer harmônico. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como a frequência fundamental de uma corda está relacionada com a tensão e a massa linear da corda.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da frequência fundamental de uma corda fixa nas duas extremidades. A frequência fundamental
é dada por:
Onde:
-
é o comprimento da corda. -
é a tensão na corda. -
é a massa linear da corda (massa por unidade de comprimento).
Passo 3
Agora, queremos ver como uma pequena variação na tensão
afeta a frequência
. Para isso, vamos calcular a variação
usando o cálculo diferencial. Diferenciando a expressão de
em relação a
, temos:
Passo 4
Calculando a derivada:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos comparar essa expressão com a frequência original
:
Podemos reescrever
em termos de
:
Simplificando, temos:
Passo 6
Então, mostramos que uma pequena variação na tensão
resulta em uma variação na frequência fundamental
dada por:
Agora, sobre a segunda parte da pergunta: esse resultado se aplica a qualquer harmônico? Sim, a relação geral para os harmônicos é:
Onde
é a frequência do n-ésimo harmônico e
é a frequência fundamental. A derivada em relação à tensão será a mesma para todos os harmônicos, então a variação percentual na frequência será a mesma para qualquer harmônico.
Resposta
Dessa forma, mostramos que a variação na frequência fundamental devido a uma pequena alteração na tensão é aproximadamente
e que esse resultado vale para qualquer harmônico da corda.
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e
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para
.