Em uma corda se propagam duas ondas descritas respectivamente pelas equações
e.
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Escreva a expressão que representa o deslocamento vertical resultante
e o seu gráfico como função do tempo para
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Escreva a expressão que representa o deslocamento vertical resultante
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas ondas que estão se movendo em uma corda. As equações das ondas são dadas por $ y_{1}(x, t) = 5 \sin(4x - 10t) $ e $ y_{2}(x, t) = 5 \sin(12x + 10t) $. Nosso objetivo é encontrar a equação que representa o deslocamento vertical resultante $ y_{R}(x, t) $ dessas duas ondas quando elas se combinam e também fazer o gráfico dessa combinação para $ x = 0 $. Para isso, vamos usar o princípio da superposição das ondas, que diz que o deslocamento total é a soma dos deslocamentos individuais.
Passo 2
Primeiro, vamos somar as duas equações das ondas para encontrar $ y_{R}(x, t) $. Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão. Para isso, podemos fatorar o 5:
Passo 4
Para somar duas funções seno com diferentes argumentos, podemos usar a identidade trigonométrica:
Aplicando isso às nossas ondas:
Então,
Passo 5
Vamos calcular as expressões dentro das funções seno e cosseno:
Então,
Passo 6
Sabemos que $ \cos(-\theta) = \cos(\theta) $, então podemos simplificar:
Portanto,
Passo 7
Agora, vamos encontrar o deslocamento resultante quando $ x = 0 $. Substituindo $ x = 0 $ na equação de $ y_{R}(x, t) $:
Isso significa que para $ x = 0 $, o deslocamento vertical resultante é sempre zero, independentemente do tempo.
Resposta
A expressão do deslocamento vertical resultante é:
E, para $ x = 0 $, o deslocamento vertical resultante é: