Em uma corda se propagam duas ondas descritas respectivamente pelas equações y1(x, t)=5 sen(4 x-10 t) e. y2(x, t)=5 sen(12 x+10 t).
Escreva a expressão que representa o deslocamento vertical resultante yR(x, t) e o seu gráfico como função do tempo para x=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas ondas que estão se movendo em uma corda. As equações das ondas são dadas por $ y_{1}(x, t) = 5 \sin(4x - 10t) $ e $ y_{2}(x, t) = 5 \sin(12x + 10t) $. Nosso objetivo é encontrar a equação que representa o deslocamento vertical resultante $ y_{R}(x, t) $ dessas duas ondas quando elas se combinam e também fazer o gráfico dessa combinação para $ x = 0 $. Para isso, vamos usar o princípio da superposição das ondas, que diz que o deslocamento total é a soma dos deslocamentos individuais.

Passo 2

Primeiro, vamos somar as duas equações das ondas para encontrar $ y_{R}(x, t) $. Isso significa que:
yR(x, t)

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. Para isso, podemos fatorar o 5:
yR(x, t) = 5 [ sin(4x - 10t) + sin(12x + 10t) ]

Passo 4

Para somar duas funções seno com diferentes argumentos, podemos usar a identidade trigonométrica:
sin A + sin B = 2 sin(A + B2) cos(A - B2)
Aplicando isso às nossas ondas:
A = 4x - 10t e B = 12x + 10t
Então,
sin(4x - 10t) + sin(12x + 10t) = 2 sin((4x - 10t) + (12x + 10t)2) cos((4x - 10t) - (12x + 10t)2)

Passo 5

Vamos calcular as expressões dentro das funções seno e cosseno:
(4x - 10t) + (12x + 10t)2 = 16x2 = 8x
(4x - 10t) - (12x + 10t)2 = -8x - 20t2 = -4x - 10t
Então,
sin(4x - 10t) + sin(12x + 10t) = 2 sin(8x) cos(-4x - 10t)

Passo 6

Sabemos que $ \cos(-\theta) = \cos(\theta) $, então podemos simplificar:
cos(-theta) = cos(theta)
Portanto,
2 sin(8x) cos(-4x - 10t) = 2 sin(8x) cos(4x + 10t)

Passo 7

Agora, vamos encontrar o deslocamento resultante quando $ x = 0 $. Substituindo $ x = 0 $ na equação de $ y_{R}(x, t) $:
x = 0
Isso significa que para $ x = 0 $, o deslocamento vertical resultante é sempre zero, independentemente do tempo.

Resposta

A expressão do deslocamento vertical resultante é:
yR(x, t) = 10 sin(8x) cos(4x + 10t)
E, para $ x = 0 $, o deslocamento vertical resultante é:
x = 0

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