Uma corda uniforme, de 20 m de comprimento e massa de , está esticada sob uma tensão de 10 N . Faz-se oscilar, transversalmente, uma extremidade da corda, com amplitude de e freqüência de 5,0 oscilações por segundo. O deslocamento inicial da extremidade é de para cima. Escreva, como função do tempo, o deslocamento transversal de um ponto da corda situado à distância da extremidade que se faz oscilar, após ser atingido pela onda e antes que ela chegue à outra extremidade.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os dados que temos.
Enunciado resumido: Temos uma corda uniforme de 20 metros de comprimento e 2,0 kg de massa, esticada com uma tensão de 10 N. Uma das extremidades da corda é oscilada transversalmente com uma amplitude de 3,0 cm, frequência de 5,0 oscilações por segundo e deslocamento inicial de 1,5 cm para cima. Precisamos encontrar a função que descreve o deslocamento transversal de um ponto na corda, localizado a uma distância da extremidade oscilante, em função do tempo .
Conteúdo da matéria: Ondas em cordas, movimento harmônico simples, equação das ondas.
O que vamos precisar:
  • Relação entre amplitude, frequência e velocidade da onda.
  • Equação do movimento harmônico simples.
  • Tempo que a onda leva para viajar até o ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade da onda na corda. A velocidade de uma onda em uma corda é dada por:
onde é a tensão na corda e é a massa por unidade de comprimento.

Passo 3

Calculando a massa por unidade de comprimento :

Passo 4

Agora, calculamos a velocidade da onda:

Passo 5

A frequência das oscilações é de 5,0 oscilações por segundo, ou seja, .
A relação entre frequência , período e angular é:
onde é a velocidade angular.

Passo 6

Calculando :

Passo 7

Sabemos que o deslocamento transversal de uma onda pode ser descrito pela função:
onde:
  • é a amplitude,
  • é a velocidade angular,
  • é o número de onda,
  • é a fase inicial.

Passo 8

Primeiro, vamos encontrar o número de onda . A relação entre e a velocidade da onda é:

Passo 9

Calculando :

Passo 10

Agora, precisamos considerar o deslocamento inicial. A extremidade começa com um deslocamento de 1,5 cm para cima. Isso significa que a fase inicial corresponde a um deslocamento imediato, que podemos considerar como parte da função seno em vez de cosseno para simplificar.
Então, a função fica:
A amplitude máxima é 3,0 cm, ou seja, .

Passo 11

Substituindo os valores na equação:

Resposta

A função que descreve o deslocamento transversal do ponto na corda a uma distância da extremidade oscilante, em função do tempo , é:

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