Uma corda uniforme, de 20 m de comprimento e massa de 2,0 kg, está esticada sob uma tensão de 10 N . Faz-se oscilar, transversalmente, uma extremidade da corda, com amplitude de 3,0 cm e freqüência de 5,0 oscilações por segundo. O deslocamento inicial da extremidade é de 1,5 cm para cima. Escreva, como função do tempo, o deslocamento transversal y de um ponto da corda situado à distância x da extremidade que se faz oscilar, após ser atingido pela onda e antes que ela chegue à outra extremidade.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os dados que temos.
Enunciado resumido: Temos uma corda uniforme de 20 metros de comprimento e 2,0 kg de massa, esticada com uma tensão de 10 N. Uma das extremidades da corda é oscilada transversalmente com uma amplitude de 3,0 cm, frequência de 5,0 oscilações por segundo e deslocamento inicial de 1,5 cm para cima. Precisamos encontrar a função que descreve o deslocamento transversal de um ponto na corda, localizado a uma distância da extremidade oscilante, em função do tempo .
Conteúdo da matéria: Ondas em cordas, movimento harmônico simples, equação das ondas.
O que vamos precisar:
  • Relação entre amplitude, frequência e velocidade da onda.
  • Equação do movimento harmônico simples.
  • Tempo que a onda leva para viajar até o ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade da onda na corda. A velocidade v = raizTmu de uma onda em uma corda é dada por:
onde é a tensão na corda e é a massa por unidade de comprimento.

Passo 3

Calculando a massa por unidade de comprimento mu = mL = 2,0 , kg20 , m = 0,1 , kg/m :

Passo 4

Agora, calculamos a velocidade da onda:
v = raiz10 , N0,1 , kg/m = raiz100 , m^2/s^2 = 10 , m/s

Passo 5

A frequência das oscilações é de 5,0 oscilações por segundo, ou seja, omega = 2pi f .
A relação entre frequência , período e angular é:
onde é a velocidade angular.

Passo 6

Calculando omega = 2pi times 5,0 , Hz = 10pi , rad/s :

Passo 7

Sabemos que o deslocamento transversal de uma onda pode ser descrito pela função:
y(x, t) = A cos(omega t - kx + phi)
onde:
  • é a amplitude,
  • é a velocidade angular,
  • é o número de onda,
  • é a fase inicial.

Passo 8

Primeiro, vamos encontrar o número de onda v = omegak implies k = omegav . A relação entre e a velocidade da onda é:

Passo 9

Calculando k = 10pi , rad/s10 , m/s = pi , rad/m :

Passo 10

Agora, precisamos considerar o deslocamento inicial. A extremidade começa com um deslocamento de 1,5 cm para cima. Isso significa que a fase inicial y(x, t) = A sin(omega t - kx) corresponde a um deslocamento imediato, que podemos considerar como parte da função seno em vez de cosseno para simplificar.
Então, a função fica:
A amplitude máxima é 3,0 cm, ou seja, .

Passo 11

Substituindo os valores na equação:
y(x, t) = 0,03 , m times sin(10pi t - pi x)

Resposta

A função que descreve o deslocamento transversal y(x, t) = 0,03 , m times sin(10pi t - pi x) do ponto na corda a uma distância da extremidade oscilante, em função do tempo , é:

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