Um meteorito está a uma distância de 80.000 km da superfície da Terra e está se movendo em direção à Terra a uma velocidade v=2.000 m / s. Ignorando o atrito do ar, qual será sua velocidade no impacto (sugestão: use conceitos de energia)?

Passo 1

Vamos lá! Você tem um meteorito a 80.000 km da superfície da Terra, se movendo na direção da Terra com uma velocidade de 2.000 m/s. Queremos descobrir qual será sua velocidade no momento do impacto, ignorando o atrito do ar. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de energia da física, especialmente a energia cinética e a energia potencial gravitacional.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a velocidade do meteorito vai aumentar à medida que ele se aproxima da Terra devido à força da gravidade. Para calcular isso, vamos usar a conservação da energia mecânica, que diz que a energia total (cinética + potencial) se mantém constante se não houver forças externas (como o atrito do ar, que estamos ignorando).

Passo 3

Vamos definir as energias:
  • Energia Cinética Inicial (K_i):
    Ki = 12 m vi^2
    Onde Ui = -G M mri é a velocidade inicial.
  • Energia Potencial Inicial (U_i):
    Onde:
    • é a constante gravitacional,
    • é a massa da Terra,
    • é a distância inicial do centro da Terra ( ).

Passo 4

No ponto de impacto, a distância do meteorito ao centro da Terra é apenas o raio da Terra ( Kf = 12 m vf^2 ). A energia cinética final ( Uf = -G M mrf ) será:
E a energia potencial final ( ) será:

Passo 5

Pela conservação da energia, temos:
Ki + Ui = Kf + Uf
Substituindo as equações das energias:
12 m vi^2 - G M mri = 12 m vf^2 - G M mrf
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 12 vi^2 - G Mri = 12 vf^2 - G Mrf :

Passo 6

Rearranjando para isolar 12 vf^2 = 12 vi^2 + G Mrf - G Mri :
vf^2 = vi^2 + 2 G M ( 1rf - 1ri )
Multiplicando tudo por 2:

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores numéricos:
vf = raizvi^2 + 2 G M ( 1rf - 1ri )
Onde:
  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • .

Passo 8

Calculando cada parte:
2 G M = 2 times 6,674 times 10^-11 times 5,972 times 10^24 approx 7,972 times 10^14 , m^3/s^2
1rf - 1ri = 16,371 times 10^6 - 16,451 times 10^6 approx 1,5696 times 10^-7 - 1,5508 times 10^-7 = 1,89 times 10^-9 , m^-1
Multiplicando:
2 G M ( 1rf - 1ri ) = 7,972 times 10^14 times 1,89 times 10^-9 approx 1,504 times 10^6 , m^2/s^2

Passo 9

Agora, somamos vf^2 = (2.000)^2 + 1,504 times 10^6 = 4.000.000 + 1.504.000 approx 5.504.000 , m^2/s^2 :
vf = raiz5.504.000 approx 2.346 , m/s
Tirando a raiz quadrada:
Nota: Parece que houve um erro nos cálculos anteriores. Vamos refazer de forma mais precisa.

Passo 10

Vamos recalcular:
vf = raizvi^2 + 2 G M ( 1rf - 1ri )
Substituindo os valores:
vf = raiz(2.000)^2 + 2 times 6,674 times 10^-11 times 5,972 times 10^24 ( 16,371 times 10^6 - 16,451 times 10^6 )
Calculando cada parte com mais precisão:
2 G M = 2 times 6,674 times 10^-11 times 5,972 times 10^24 approx 7,972 times 10^14
16,371 times 10^6 approx 1,5696 times 10^-7
16,451 times 10^6 approx 1,5494 times 10^-7
1rf - 1ri = 1,5696 times 10^-7 - 1,5494 times 10^-7 = 2,021 times 10^-9
Multiplicando:
7,972 times 10^14 times 2,021 times 10^-9 approx 1,611 times 10^6
Somando vf^2 = 4.000.000 + 1.611.000 approx 5.611.000 , m^2/s^2 :
vf = raiz5.611.000 approx 2.369 , m/s
Tirando a raiz quadrada:

Resposta

A velocidade do meteorito no impacto será aproximadamente 2.369 m/s.

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