Duas ondas estão se propagando ao longo de um fio esticado, que coincide com o eixo X: y1(x, t)=A c o s[k(x-v t)] e y2(x, t)=A operatorname c o s [k(x+v)+theta0]. Pergunta-se : Para cada valor de theta0 encontrado, escreva a função de onda total, y(x, t)= y1(x, t)+yz(x, t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para somar duas ondas que estão viajando ao longo de um fio esticado no eixo X. A primeira onda é e a segunda é . O conteúdo que vamos usar aqui é a superposição de ondas e identidades trigonométricas para somar essas funções. O que precisamos fazer é encontrar a função de onda total para cada valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as duas ondas que temos:
y1(x, t) = A cos[k(x - vt)]
y2(x, t) = A cos[k(x + vt) + theta0]

Passo 3

Agora, para somar essas duas ondas, vamos usar a identidade trigonométrica da soma de dois cossenos:
cos alpha + cos beta = 2 cos(alpha + beta2) cos(alpha - beta2)
Aqui, vamos identificar e nas nossas funções.

Passo 4

Vamos definir:
alpha = k(x - vt)
beta = k(x + vt) + theta0
Substituindo na identidade, temos:
y(x, t) = y1 + y2 = A cos alpha + A cos beta = 2A cos(alpha + beta2) cos(alpha - beta2)

Passo 5

Vamos calcular alpha + beta2 = k(x - vt) + k(x + vt) + theta02 = 2k x + theta02 = kx + theta02 e alpha - beta2 = k(x - vt) - [k(x + vt) + theta0]2 = -2k vt - theta02 = -k vt - theta02 :

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da soma das ondas:
y(x, t) = 2A cos(kx + theta02) cos(-k vt - theta02)
Como o cosseno é uma função par, y(x, t) = 2A cos(kx + theta02) cos(k vt + theta02) , então:

Resposta

A função de onda total é:
y(x, t) = 2A cos(kx + theta02) cos(k vt + theta02)

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