Encontre a altura e a velocidade de um satélite (em órbita circular no plano equatorial) que permanece o tempo todo acima do mesmo ponto da Terra (geoestacionário).

Passo 1

Beleza, então a gente tem um satélite que quer ficar sempre no mesmo ponto da Terra, ou seja, ele é geoestacionário. Isso significa que ele está em uma órbita circular no plano equatorial da Terra e sua velocidade deve ser tal que ele complete uma volta exatamente no mesmo tempo que a Terra demora para girar uma vez (24 horas). Para resolver isso, vamos precisar das leis da gravitação de Newton e das fórmulas de movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um satélite ficar em órbita circular, a força centrípeta necessária para mantê-lo nessa órbita é fornecida pela força da gravitação. A força centrípeta é dada por:
Fc = mv^2r
Onde:
  • é a massa do satélite,
  • é a velocidade do satélite,
  • é o raio da órbita (distância do centro da Terra até o satélite).

Passo 3

A força gravitacional que atrai o satélite para a Terra é dada por:
Fg = G M mr^2
Onde:
  • é a constante gravitacional ( ),
  • é a massa da Terra ( ),
  • é a massa do satélite,
  • é o raio da órbita.

Passo 4

Para que o satélite permaneça em órbita circular, a força centrípeta deve ser igual à força gravitacional:
mv^2r = G M mr^2
Podemos simplificar v^2r = G Mr^2 dos dois lados:
v^2 = G Mr
Multiplicando ambos os lados por v = raizG Mr :
Então, a velocidade é:

Passo 5

Sabemos que o satélite é geoestacionário, ou seja, seu período de rotação T = 2pi raizr^3G M é igual ao período de rotação da Terra, que é de 24 horas ou r^3 = G M T^24 pi^2 segundos. A relação entre o período e o raio da órbita é dada por:
r = ( G M T^24 pi^2 )^1/3
Vamos isolar :
Então,

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor de r = ( 6,674 times 10^-11 times 5,972 times 10^24 times (86400)^24 pi^2 )^1/3 :
r approx 42.164 times 10^6 , m
Fazendo os cálculos:
h = r - RTerra approx 35.793 times 10^6 , m , ou , 35.793 , km
Isso é o raio total da órbita. Para encontrar a altitude acima da superfície da Terra, subtra��mos o raio da Terra ( ):

Passo 7

Com o valor de v = raiz6,674 times 10^-11 times 5,972 times 10^2442.164 times 10^6 approx 3.07 times 10^3 , m/s , podemos calcular a velocidade :

Resposta

A altura do satélite geoestacionário é aproximadamente 35.793 km acima da superfície da Terra e sua velocidade orbital é cerca de 3.07 km/s.

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