Encontre a altura e a velocidade de um satélite (em órbita circular no plano equatorial) que permanece o tempo todo acima do mesmo ponto da Terra (geoestacionário).
Passo 1
Beleza, então a gente tem um satélite que quer ficar sempre no mesmo ponto da Terra, ou seja, ele é geoestacionário. Isso significa que ele está em uma órbita circular no plano equatorial da Terra e sua velocidade deve ser tal que ele complete uma volta exatamente no mesmo tempo que a Terra demora para girar uma vez (24 horas). Para resolver isso, vamos precisar das leis da gravitação de Newton e das fórmulas de movimento circular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um satélite ficar em órbita circular, a força centrípeta necessária para mantê-lo nessa órbita é fornecida pela força da gravitação. A força centrípeta é dada por:
Onde:
-
é a massa do satélite, -
é a velocidade do satélite, -
é o raio da órbita (distância do centro da Terra até o satélite).
Passo 3
A força gravitacional que atrai o satélite para a Terra é dada por:
Onde:
-
é a constante gravitacional ( ), -
é a massa da Terra ( ), -
é a massa do satélite, -
é o raio da órbita.
Passo 4
Para que o satélite permaneça em órbita circular, a força centrípeta deve ser igual à força gravitacional:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Então, a velocidade
é:
Passo 5
Sabemos que o satélite é geoestacionário, ou seja, seu período de rotação
é igual ao período de rotação da Terra, que é de 24 horas ou
segundos. A relação entre o período e o raio da órbita é dada por:
Vamos isolar
:
Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor de
:
Fazendo os cálculos:
Isso é o raio total da órbita. Para encontrar a altitude
acima da superfície da Terra, subtra��mos o raio da Terra (
):
Passo 7
Com o valor de
, podemos calcular a velocidade
:
Resposta
A altura do satélite geoestacionário é aproximadamente 35.793 km acima da superfície da Terra e sua velocidade orbital é cerca de 3.07 km/s.