Utilizando o método dos mínimos quadrados (MMQ) determine of valor da constante gravitacional, G.
i. Construa um gráfico em papel milimetrado de barT^-2 em função da variável que ele dependa linearmente. (DICA: Considere que o eixo de barT^-2 é multiplicado por 10^-5.) (1,0p)
ii. Calcule o coeficiente angular, aM M Q, da melhor reta pelo MMQ (considere que o coeficiente linear é nulo, i.e. b=0 ), e, finalmente, trace a reta do MMQ. (1 , 5 p)
iii. Determine o valor de G a partir do valor de aM M Q cdot(1 , 0 p)
Se necessário, utilize o resultado:
cos (theta02)sin ^2(theta02)-sin (theta02)cos ^2(theta02)=4,55982
iv. Determine a incerteza de G a partir das incertezas de aM M Q, u(aM M Q), e de outras variáveis relevantes (desconsidere a incerteza de qualquer ângulo que apareça na expressão). (DICA: Verifique qual das incertezas é mais relevante para o cálculo.) (0,5p)
[1]

  1. ^1 Note que m , s e kg são unidades de metro, segundo e quilograma, respectivamente. ↩︎

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir o valor da constante gravitacional usando o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ). Isso faz parte da matéria de Física, mais especificamente de Gravitação Universal. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir gráficos, calcular o coeficiente angular da melhor reta que ajusta os dados e, por fim, determinar usando esse coeficiente. Também vamos ver como calcular a incerteza de .

Passo 2

Primeiro, a gente precisa construir um gráfico de em função de outra variável que tenha uma relação linear com ela. A dica aqui é que o eixo de deve ser multiplicado por .
Então, se você tem uma tabela de valores, pega os valores de , calcula para cada e multiplica por . Depois, plota esses pontos em papel milimetrado, onde o eixo x será a outra variável que depende linearmente de .

Passo 3

Agora, vamos calcular o coeficiente angular aMMQ = sum (xi cdot yi)sum (xi^2) da melhor reta que ajusta os nossos dados usando o Método dos Mínimos Quadrados. Aqui, a gente considera que o coeficiente linear é zero, ou seja, a reta passa pela origem.
A fórmula do coeficiente angular, quando , é:
Onde são os valores da variável no eixo x e são os valores de . Depois de calcular , você traça a reta no gráfico que você fez.

Passo 4

Com o valor de cos (theta02)sin ^2(theta02) - sin (theta02)cos ^2(theta02) = 4,55982 em mãos, podemos determinar o valor de . A relação entre o coeficiente angular e está baseada na teoria da gravitação. A fórmula que relaciona com é geralmente derivada das equações de Newton para a força gravitacional.
Se considerarmos a expressão fornecida no exercício:
Usando essa relação e o valor de , podemos isolar e calculá-lo.

Passo 5

Por fim, precisamos determinar a incerteza de , ou seja, . Para isso, vamos considerar as incertezas envolvidas no cálculo de e nas outras variáveis relevantes. A dica é verificar qual dessas incertezas tem maior impacto no cálculo final.
A fórmula para propagação de incertezas, quando temos uma função que depende de várias variáveis, é dada pela derivada parcial em relação a cada variável, multiplicada pela incerteza dessa variável. Porém, como estamos desconsiderando a incerteza dos ângulos, focamos nas incertezas de e demais variáveis usadas para calcular .

Resposta

Após seguir todos os passos, o valor da constante gravitacional G = Valor calculado a partir de aMMQ pm u(G) foi determinado utilizando o Método dos Mínimos Quadrados. A incerteza associada a também foi calculada considerando as incertezas das variáveis envolvidas no processo.
(Substitua "Valor calculado a partir de " e pelos valores numéricos obtidos após os cálculos com os dados do exercício.)

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