Em uma corda vibrante tensionada com os dois extremos livres e com velocidade de onda
, observa-se ressonâncias em 100 Hz e 150 Hz e mais uma frequência de ressonância dentro deste intervalo. Calcule o comprimento da corda.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma corda que está vibrando, com os dois extremos livres, e a velocidade da onda nessa corda é de
. Observamos ressonâncias nas frequências de
e
, além de mais uma frequência de ressonância que está entre essas duas. Nosso objetivo é calcular o comprimento dessa corda. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre ondas estacionárias em cordas e como as frequências de ressonância estão relacionadas ao comprimento da corda e à velocidade das ondas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma corda com ambos os extremos livres, as ondas estacionárias formam padrões onde ambos os extremos são antinodos (pontos de máxima amplitude). As frequências de ressonância para esse tipo de corda são dadas por:
onde:
-
é a -ésima frequência de ressonância, -
é a velocidade da onda na corda, -
é o comprimento da corda, -
é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …).
Passo 3
Sabemos que as frequências de ressonância observadas são
e
, e há uma terceira frequência entre elas. Vamos associar essas frequências aos diferentes modos de ressonância.
Assumindo que
é a primeira frequência
, podemos escrever:
Da mesma forma, a segunda frequência
seria:
Passo 4
Vamos resolver para o comprimento
usando a equação da segunda frequência:
Isolando
:
Substituindo a velocidade da onda
:
Resposta
O comprimento da corda é aproximadamente
.