A corda mi de um violão possui um comprimento L e produz frequência do primeiro harmônico de 660 Hz . Prendese a corda com um dedo, de forma a reduzir o comprimento da corda para L^prime=3 L / 4, mantendo a tensão. (a) Qual será a nova frequência do primeiro harmônico? (b) Se ao invés de alterarmos o comprimento, duplicarmos a tensão, qual será a nova frequência do primeiro harmônico?

Passo 1

Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma corda de violão com comprimento que vibra no primeiro harmônico com frequência de 660 Hz. Queremos descobrir como a frequência muda em duas situações:
a) Quando reduzimos o comprimento da corda para mantendo a tensão.
b) Quando, ao invés de mudar o comprimento, duplicamos a tensão da corda, mantendo o comprimento original.
Para resolver isso, vamos precisar entender como o comprimento da corda e a tensão influenciam a frequência dos harmônicos. Os conceitos de ondas estacionárias em cordas são essenciais aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a): reduzir o comprimento da corda mantendo a tensão. A frequência fundamental (primeiro harmônico) de uma corda fixa nas duas extremidades é dada pela fórmula:
f1 = v2L
onde:
  • v = raizTmu é a frequência do primeiro harmônico,
  • é a velocidade da onda na corda,
  • é o comprimento da corda.
A velocidade da onda na corda depende da tensão ( ) e da massa linear ( ) da corda, segundo:
Como a tensão e a massa linear permanecem constantes, a velocidade também é constante. Portanto, se reduzirmos o comprimento da corda, a frequência vai aumentar proporcionalmente.

Passo 3

Vamos calcular a nova frequência após reduzir o comprimento para f'1 = v2L' .
Usando a fórmula do primeiro harmônico:
f'1 = v2 times 34L = v32L = 2v3L
Sabemos que f'1f1 = 2v3Lv2L = 43 , então substituindo:
f'1 = 43 times 660,Hz = 880,Hz
Comparando com a frequência original:
Portanto, a nova frequência é:

Passo 4

Agora, vamos para a parte b): duplicar a tensão mantendo o comprimento da corda. Voltamos à fórmula da velocidade da onda:
v = raizTmu
Se a tensão v' = raiz2Tmu = raiz2 times raizTmu = raiz2 , v é duplicada ( f'1 = v'2L = raiz2 , v2L = raiz2 times v2L = raiz2 , f1 ), a nova velocidade será:
Como o comprimento permanece o mesmo, a nova frequência será:

Passo 5

Calculando a nova frequência com a tensão duplicada:
f'1 = raiz2 times 660,Hz approx 1,414 times 660,Hz approx 933,24,Hz
Arredondando, temos aproximadamente 933 Hz.

Resposta

a) A nova frequência do primeiro harmônico será 880 Hz.
b) A nova frequência do primeiro harmônico será aproximadamente 933 Hz.

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