A corda mi de um violão possui um comprimento
e produz frequência do primeiro harmônico de 660 Hz . Prendese a corda com um dedo, de forma a reduzir o comprimento da corda para
, mantendo a tensão. (a) Qual será a nova frequência do primeiro harmônico? (b) Se ao invés de alterarmos o comprimento, duplicarmos a tensão, qual será a nova frequência do primeiro harmônico?
Passo 1
Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma corda de violão com comprimento
que vibra no primeiro harmônico com frequência de 660 Hz. Queremos descobrir como a frequência muda em duas situações:
a) Quando reduzimos o comprimento da corda para
mantendo a tensão.
b) Quando, ao invés de mudar o comprimento, duplicamos a tensão da corda, mantendo o comprimento original.
Para resolver isso, vamos precisar entender como o comprimento da corda e a tensão influenciam a frequência dos harmônicos. Os conceitos de ondas estacionárias em cordas são essenciais aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a): reduzir o comprimento da corda mantendo a tensão. A frequência fundamental (primeiro harmônico) de uma corda fixa nas duas extremidades é dada pela fórmula:
onde:
-
é a frequência do primeiro harmônico, -
é a velocidade da onda na corda, -
é o comprimento da corda.
A velocidade da onda na corda depende da tensão (
) e da massa linear (
) da corda, segundo:
Como a tensão
e a massa linear
permanecem constantes, a velocidade
também é constante. Portanto, se reduzirmos o comprimento da corda, a frequência
vai aumentar proporcionalmente.
Passo 3
Vamos calcular a nova frequência após reduzir o comprimento para
.
Usando a fórmula do primeiro harmônico:
Sabemos que
, então substituindo:
Comparando com a frequência original:
Portanto, a nova frequência é:
Passo 4
Agora, vamos para a parte b): duplicar a tensão mantendo o comprimento da corda. Voltamos à fórmula da velocidade da onda:
Se a tensão
é duplicada (
), a nova velocidade
será:
Como o comprimento
permanece o mesmo, a nova frequência
será:
Passo 5
Calculando a nova frequência com a tensão duplicada:
Arredondando, temos aproximadamente 933 Hz.
Resposta
a) A nova frequência do primeiro harmônico será 880 Hz.
b) A nova frequência do primeiro harmônico será aproximadamente 933 Hz.