Uma corda de violino tem comprimento , para o qual a frequência do primeiro harmônico é . Para alterar a frequência do primeiro harmônico da corda, prendese a corda com o dedo, de forma a reduzir seu comprimento, mas mantendo sua tensão. Qual deve ser então o novo comprimento da corda para que a frequência do primeiro harmônico seja , onde ?

Passo 1

Então, a gente tem uma corda de violino que tem um comprimento e a frequência do primeiro harmônico é . A ideia é mudar essa frequência para , onde é maior que 1, sem mudar a tensão da corda. Para isso, vamos reduzir o comprimento da corda para um novo comprimento . Vamos usar conceitos de física sobre ondas nas cordas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a frequência fundamental de uma corda fixa nas duas extremidades é dada por:
onde é a velocidade da onda na corda e é o comprimento da corda. A velocidade da onda depende da tensão ( ) e da massa por unidade de comprimento ( ) da corda, e é dada por:
Como a tensão está sendo mantida, a velocidade da onda também permanece constante.

Passo 3

Agora, queremos que a nova frequência seja . Usando a fórmula da frequência, temos:
Substituindo na equação:

Passo 4

Sabemos que inicialmente . Vamos substituir na equação anterior:
Simplificando ambos os lados por :

Passo 5

Resolvendo para , temos:

Resposta

O novo comprimento da corda deve ser .

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