Uma corda de violino tem comprimento
, para o qual a frequência do primeiro harmônico é
. Para alterar a frequência do primeiro harmônico da corda, prendese a corda com o dedo, de forma a reduzir seu comprimento, mas mantendo sua tensão. Qual deve ser então o novo comprimento da corda
para que a frequência do primeiro harmônico seja
, onde
?
Passo 1
Então, a gente tem uma corda de violino que tem um comprimento
e a frequência do primeiro harmônico é
. A ideia é mudar essa frequência para
, onde
é maior que 1, sem mudar a tensão da corda. Para isso, vamos reduzir o comprimento da corda para um novo comprimento
. Vamos usar conceitos de física sobre ondas nas cordas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a frequência fundamental de uma corda fixa nas duas extremidades é dada por:
onde
é a velocidade da onda na corda e
é o comprimento da corda. A velocidade da onda depende da tensão (
) e da massa por unidade de comprimento (
) da corda, e é dada por:
Como a tensão está sendo mantida, a velocidade da onda
também permanece constante.
Passo 3
Agora, queremos que a nova frequência seja
. Usando a fórmula da frequência, temos:
Substituindo
na equação:
Passo 4
Sabemos que inicialmente
. Vamos substituir
na equação anterior:
Simplificando ambos os lados por
:
Passo 5
Resolvendo para
, temos:
Resposta
O novo comprimento da corda deve ser
.