Uma corda de violino tem comprimento
, para o qual a frequência do primeiro harmônico é
. Para alterar a frequência do primeiro harmônico da corda, prendese a corda com o dedo, de forma a reduzir seu comprimento, mas mantendo sua tensão. Qual deve ser então o novo comprimento da corda
para que a frequência do primeiro harmônico seja
, onde
?
Passo 1
Então, a gente tem uma corda de violino que tem um comprimento
e a frequência do primeiro harmônico é
. A ideia é mudar essa frequência para
, onde
é maior que 1, sem mudar a tensão da corda. Para isso, vamos reduzir o comprimento da corda para um novo comprimento
. Vamos usar conceitos de física sobre ondas nas cordas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a frequência fundamental de uma corda fixa nas duas extremidades é dada por:
onde
é a velocidade da onda na corda e
é o comprimento da corda. A velocidade da onda depende da tensão (
) e da massa por unidade de comprimento (
) da corda, e é dada por:
Como a tensão está sendo mantida, a velocidade da onda
também permanece constante.
Passo 3
Agora, queremos que a nova frequência seja
. Usando a fórmula da frequência, temos:
Substituindo
na equação:
Passo 4
Sabemos que inicialmente
. Vamos substituir
na equação anterior:
Simplificando ambos os lados por
:
Passo 5
Resolvendo para
, temos:
Resposta
O novo comprimento da corda deve ser
.
Exercícios relacionados
Uma corda de comprimento igual a
é esticada entre dois suportes com uma tensão tal que a velocidade da onda transversal é igual a
. Calcule o comprimento de onda e a frequência do quarto harmônico.
Mostre que as funções
e
satisfazem a equação de onda unidimensional.
Uma onda harmônica
é gerada próximo ao extremo fixo de uma corda, em
, viaja em direção ao extremo livre,
, sendo refletida, e gera uma interferência que resulta numa onda estacionária. Calcule o
-ésimo harmônico da onda resultante, sabendo que a condição de contorno em
é
. Esboce a figura correspondente aos quatro primeiros harmônicos.
Uma ambulância encontra-se a sua frente em uma autoestrada, com uma sirene emitindo um som a frequência de 1.000 Hz . A sua velocidade e a da ambulância são, respectivamente,
e
. À frente da ambulância há um caminhão com velocidade de
. Considere a velocidade do som no ar como
. (a) Qual a frequência que você escuta diretamente da sirene? (b) Qual a frequência do som que você escuta refletido pelo caminhão?