Mostre que as funções A cos (k x-omega t+phi), A sin (k x- omega t+phi) e A e^i(k x-omega t+phi) satisfazem a equação de onda unidimensional.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A ideia é mostrar que as funções , e são soluções da equação de onda unidimensional. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais e aplicar a equação de onda, que relaciona as derivadas de segunda ordem em e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a forma da equação de onda unidimensional. Ela é dada por:
partial^2 ypartial t^2 = v^2 partial^2 ypartial x^2
Aqui, é a função que descreve a onda, é a velocidade da onda, e e são as derivadas de segunda ordem de em relação ao tempo e à posição , respectivamente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira função: partial ypartial t = -A omega sin(k x - omega t + phi) .
Primeiro, calculamos a segunda derivada em relação ao tempo partial^2 ypartial t^2 = -A omega^2 cos(k x - omega t + phi) :
partial ypartial x = -A k sin(k x - omega t + phi)
partial^2 ypartial x^2 = -A k^2 cos(k x - omega t + phi)
Agora, calculamos a segunda derivada em relação à posição :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na equação de onda:
- A omega^2 cos(k x - omega t + phi) = v^2 (-A k^2 cos(k x - omega t + phi))
Simplificando:
- omega^2 = -v^2 k^2
omega^2 = v^2 k^2
Isso mostra que a primeira função satisfaz a equação de onda, desde que .

Passo 5

Vamos repetir o processo para a segunda função: partial ypartial t = -A omega cos(k x - omega t + phi) .
Calculando as derivadas:
partial^2 ypartial t^2 = A omega^2 sin(k x - omega t + phi)
partial ypartial x = A k cos(k x - omega t + phi)
partial^2 ypartial x^2 = -A k^2 sin(k x - omega t + phi)
A omega^2 sin(k x - omega t + phi) = v^2 (-A k^2 sin(k x - omega t + phi))
Substituindo na equação de onda:
omega^2 = v^2 k^2
Simplificando:
Novamente, confirmamos que a segunda função também satisfaz a equação de onda, com .

Passo 6

Por último, vamos verificar a terceira função: partial ypartial t = -i A omega e^i(k x - omega t + phi) .
Calculando as derivadas:
partial^2 ypartial t^2 = -A omega^2 e^i(k x - omega t + phi)
partial ypartial x = i A k e^i(k x - omega t + phi)
partial^2 ypartial x^2 = -A k^2 e^i(k x - omega t + phi)
- A omega^2 e^i(k x - omega t + phi) = v^2 (-A k^2 e^i(k x - omega t + phi))
Substituindo na equação de onda:
omega^2 = v^2 k^2
Simplificando:
Mais uma vez, a condição garante que a terceira função também resolve a equação de onda.

Resposta

Assim, mostramos que as funções , e satisfazem a equação de onda unidimensional quando .

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