Mostre que as funções
e
satisfazem a equação de onda unidimensional.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A ideia é mostrar que as funções
,
e
são soluções da equação de onda unidimensional. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais e aplicar a equação de onda, que relaciona as derivadas de segunda ordem em
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a forma da equação de onda unidimensional. Ela é dada por:
Aqui,
é a função que descreve a onda,
é a velocidade da onda, e
e
são as derivadas de segunda ordem de
em relação ao tempo
e à posição
, respectivamente.
Passo 3
Vamos começar com a primeira função:
.
Primeiro, calculamos a segunda derivada em relação ao tempo
:
Agora, calculamos a segunda derivada em relação à posição
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na equação de onda:
Simplificando:
Isso mostra que a primeira função satisfaz a equação de onda, desde que
.
Passo 5
Vamos repetir o processo para a segunda função:
.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação de onda:
Simplificando:
Novamente, confirmamos que a segunda função também satisfaz a equação de onda, com
.
Passo 6
Por último, vamos verificar a terceira função:
.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação de onda:
Simplificando:
Mais uma vez, a condição
garante que a terceira função também resolve a equação de onda.
Resposta
Assim, mostramos que as funções
,
e
satisfazem a equação de onda unidimensional quando
.
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, onde
?