Mostre que as funções e satisfazem a equação de onda unidimensional.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A ideia é mostrar que as funções , e são soluções da equação de onda unidimensional. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais e aplicar a equação de onda, que relaciona as derivadas de segunda ordem em e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a forma da equação de onda unidimensional. Ela é dada por:
Aqui, é a função que descreve a onda, é a velocidade da onda, e e são as derivadas de segunda ordem de em relação ao tempo e à posição , respectivamente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira função: .
Primeiro, calculamos a segunda derivada em relação ao tempo :
Agora, calculamos a segunda derivada em relação à posição :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na equação de onda:
Simplificando:
Isso mostra que a primeira função satisfaz a equação de onda, desde que .

Passo 5

Vamos repetir o processo para a segunda função: .
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação de onda:
Simplificando:
Novamente, confirmamos que a segunda função também satisfaz a equação de onda, com .

Passo 6

Por último, vamos verificar a terceira função: .
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação de onda:
Simplificando:
Mais uma vez, a condição garante que a terceira função também resolve a equação de onda.

Resposta

Assim, mostramos que as funções , e satisfazem a equação de onda unidimensional quando .

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