As cordas de um violoncelo têm comprimento
. (a) De qual comprimento
as cordas devem ser encurtadas pelos dedos de modo que o tom sonoro seja modificado por uma razão de freqüência
? (b) Determine
, se
e
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos cordas de violoncelo com comprimento
e precisamos descobrir quanto elas devem ser encurtadas, ou seja, encontrar
, para que a frequência do som produzido mude por um fator
. Para isso, vamos usar conceitos de física relacionados à frequência das cordas, especificamente a relação entre frequência e comprimento da corda.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a frequência
de uma corda vibrante é inversamente proporcional ao seu comprimento
. Isso significa que:
Ou seja, se diminuirmos o comprimento da corda, a frequência aumentará, e vice-versa.
Passo 3
Vamos expressar essa relação com uma equação. Se
é a frequência inicial e
é a frequência após encurtar a corda, temos:
Onde
é o comprimento inicial e
é o comprimento após o encurtamento.
Passo 4
O enunciado nos dá a razão de frequência
. Então podemos reescrever a equação como:
Queremos encontrar
. Vamos isolar
na equação:
Passo 5
Agora, substituímos
na expressão de
:
Essa é a fórmula que nos permite calcular o encurtamento necessário da corda para obter a mudança desejada na frequência.
Passo 6
Para a parte (b), vamos calcular
quando
cm e
.
Passo 7
Usando a fórmula:
Vamos calcular para cada valor de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
(a) As cordas devem ser encurtadas em
.
(b) Para
cm:
-
: cm -
: cm -
: cm -
: cm