As cordas de um violoncelo têm comprimento . (a) De qual comprimento as cordas devem ser encurtadas pelos dedos de modo que o tom sonoro seja modificado por uma razão de freqüência ? (b) Determine , se e
.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos cordas de violoncelo com comprimento e precisamos descobrir quanto elas devem ser encurtadas, ou seja, encontrar , para que a frequência do som produzido mude por um fator . Para isso, vamos usar conceitos de física relacionados à frequência das cordas, especificamente a relação entre frequência e comprimento da corda.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a frequência de uma corda vibrante é inversamente proporcional ao seu comprimento . Isso significa que:
Ou seja, se diminuirmos o comprimento da corda, a frequência aumentará, e vice-versa.

Passo 3

Vamos expressar essa relação com uma equação. Se é a frequência inicial e é a frequência após encurtar a corda, temos:
Onde é o comprimento inicial e é o comprimento após o encurtamento.

Passo 4

O enunciado nos dá a razão de frequência . Então podemos reescrever a equação como:
Queremos encontrar . Vamos isolar na equação:

Passo 5

Agora, substituímos na expressão de :
Essa é a fórmula que nos permite calcular o encurtamento necessário da corda para obter a mudança desejada na frequência.

Passo 6

Para a parte (b), vamos calcular quando cm e .

Passo 7

Usando a fórmula:
Vamos calcular para cada valor de :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

(a) As cordas devem ser encurtadas em .
(b) Para cm:
  • : cm
  • : cm
  • : cm
  • : cm

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