O potencial elétrico no plano é dado por . Em termos de vetores unitários, qual é o campo elétrico no ponto ( ) ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o potencial elétrico no plano dado pela fórmula:
O objetivo é encontrar o campo elétrico no ponto . Para isso, vamos precisar usar o conceito de que o campo elétrico está relacionado ao potencial elétrico pela relação:
onde é o gradiente de .

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de . O gradiente em duas dimensões é dado por:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Substituindo as derivadas no gradiente:
Agora, aplicando a relação :

Passo 5

Vamos calcular o campo elétrico no ponto . Substituindo e :

Resposta

O campo elétrico no ponto é:

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Questão: Duas cargas puntiformes q são colocadas sobre o eixo , uma no ponto e outra no ponto . (a) Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico no ponto . (b) Deduza uma expressão para o campo elétrico em qualquer ponto sobre o eixo . Use seu resultado para fazer um gráfico do campo elétrico em função de para valores de x compreendidos entre e .
Questão: Uma carga positiva é distribuída uniformemente sobre a parte positiva do eixo desde até . Uma carga puntiforme negativa está sobre a parte positiva do eixo , a uma distância da origem. (a) Determine os componentes e do campo elétrico produzido pela distribuição de cargas nos pontos da parte positiva do eixo . (b) Encontre os componentes e da força que a distribuição de cargas exerce sobre a carga . © Mostre que, para os pontos e . Explique o motivo desse resultado.
Os centros de duas esferas metálicas, ambas com de raio, estão separados por uma distância de 2,0 m . A esfera 1 possui uma carga de e a esfera 2 uma carga de . Suponha que a distância entre as esferas seja suficiente para que se possa admitir que a carga das esferas seja uniformemente distribuída (ou seja, que as esferas não se afetam mutuamente). Com no infinito, determine © o potencial na superfície da esfera 2 .
As cordas de um violoncelo têm comprimento . (a) De qual comprimento as cordas devem ser encurtadas pelos dedos de modo que o tom sonoro seja modificado por uma razão de freqüência ? (b) Determine , se e
.