Um corpo a
é posto numa sala onde a temperatura ambiente se mantém constante. Após 10 minutos a temperatura do corpo é
e após 20 minutos
. Determine a temperatura da sala.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um corpo que está a
colocado em uma sala onde a temperatura ambiente é constante. Após 10 minutos, a temperatura do corpo cai para
e depois, após 20 minutos, está a
. Nosso objetivo é descobrir qual é a temperatura da sala.
Para resolver isso, vamos usar a Lei do Resfriamento de Newton, que nos ajuda a entender como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando está em contato com um ambiente de temperatura constante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei do Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto (
) e a temperatura ambiente (
). Matematicamente, isso é representado por:
Onde:
-
é a temperatura do objeto no tempo , -
é a temperatura ambiente constante, -
é a constante de proporcionalidade positiva, -
é a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial. Separando as variáveis, temos:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Podemos reescrever a equação exponencialmente:
Ou, isolando
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores de
e
usando as informações fornecidas.
Sabemos que no tempo
, a temperatura do corpo é
:
Então, temos:
Passo 5
Usando o dado de que após 10 minutos (
) a temperatura é
:
Subtraindo
dos dois lados:
Passo 6
E também, após 20 minutos (
), a temperatura é
:
Subtraindo
dos dois lados:
Passo 7
Agora, temos um sistema de duas equações:
Podemos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar
:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Então:
Passo 8
Substituindo
na primeira equação:
Usando a expressão de
que encontramos:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo ambos os lados:
Cancelando
e simplificando:
Resposta
A temperatura da sala é
.
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Determine uma solução do P.V.I
diferente de
. Isso contradiz o Teorema de Existência e Unicidade de solução? Justifique.
Mostre que a solução
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existe e é única. Exiba a solução exata que satisfaz o PVI.
Um corpo a
é posto numa sala onde a temperatura ambiente se mantém constantemente
. Após 5 minutos, a temperatura do corpo caiu para
. Depois de quanto tempo o corpo estará a
? R:
Encontre a solução geral da equação diferencial dada: