Um corpo a é posto numa sala onde a temperatura ambiente se mantém constante. Após 10 minutos a temperatura do corpo é e após 20 minutos . Determine a temperatura da sala.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um corpo que está a colocado em uma sala onde a temperatura ambiente é constante. Após 10 minutos, a temperatura do corpo cai para e depois, após 20 minutos, está a . Nosso objetivo é descobrir qual é a temperatura da sala.
Para resolver isso, vamos usar a Lei do Resfriamento de Newton, que nos ajuda a entender como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando está em contato com um ambiente de temperatura constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei do Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto ( ) e a temperatura ambiente ( ). Matematicamente, isso é representado por:
Onde:
  • é a temperatura do objeto no tempo ,
  • é a temperatura ambiente constante,
  • é a constante de proporcionalidade positiva,
  • é a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos resolver essa equação diferencial. Separando as variáveis, temos:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Podemos reescrever a equação exponencialmente:
Ou, isolando :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores de e usando as informações fornecidas.
Sabemos que no tempo , a temperatura do corpo é :
Então, temos:

Passo 5

Usando o dado de que após 10 minutos ( ) a temperatura é :
Subtraindo dos dois lados:

Passo 6

E também, após 20 minutos ( ), a temperatura é :
Subtraindo dos dois lados:

Passo 7

Agora, temos um sistema de duas equações:
Podemos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar :
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Então:

Passo 8

Substituindo na primeira equação:
Usando a expressão de que encontramos:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo ambos os lados:
Cancelando e simplificando:

Resposta

A temperatura da sala é .

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