Encontre a solução geral da equação diferencial dada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que está lá:
. Isso pertence ao conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Pra resolver, a gente vai precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear:
. Dividindo tudo por
, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Mas, para facilitar, podemos deixar em termos de
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pela
:
O lado esquerdo agora é a derivada da função
.
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
A integral no lado direito pode ser complicada, mas reconhecendo que
, a gente pode simplificar a expressão e resolver a integral, eventualmente utilizando substituição.
Passo 7
Após resolver a integral, isolamos
dividindo ambos os lados por
, o que nos dará a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Um corpo a
é posto numa sala onde a temperatura ambiente se mantém constantemente
. Após 5 minutos, a temperatura do corpo caiu para
. Depois de quanto tempo o corpo estará a
? R:
Um corpo a
é posto numa sala onde a temperatura ambiente se mantém constante. Após 10 minutos a temperatura do corpo é
e após 20 minutos
. Determine a temperatura da sala.
Encontre a solução geral da equação diferencial dada:
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