Encontre a solução geral da equação diferencial dada:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que está lá: . Isso pertence ao conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Pra resolver, a gente vai precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear: . Dividindo tudo por , temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Mas, para facilitar, podemos deixar em termos de .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela :
O lado esquerdo agora é a derivada da função .

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

A integral no lado direito pode ser complicada, mas reconhecendo que , a gente pode simplificar a expressão e resolver a integral, eventualmente utilizando substituição.

Passo 7

Após resolver a integral, isolamos dividindo ambos os lados por , o que nos dará a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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Encontre a solução geral da equação diferencial dada:
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