Determine uma solução do P.V.I
diferente de
. Isso contradiz o Teorema de Existência e Unicidade de solução? Justifique.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (P.V.I) definido por:
O objetivo é encontrar uma solução para essa equação diferencial que seja diferente da solução trivial
. Além disso, precisamos verificar se a existência de múltiplas soluções contraria o Teorema de Existência e Unicidade.
Conteúdo da matéria envolvido:
- Equações diferenciais ordinárias (EDOs)
- Problema de Valor Inicial (P.V.I)
- Teorema de Existência e Unicidade (Teorema de Picard-Lindelöf)
Para resolver esse exercício, vamos precisar:
- Entender como resolver a EDO dada.
- Analisar as condições do Teorema de Existência e Unicidade para verificar se ele se aplica neste caso.
Passo 2
Comecemos encontrando soluções para a equação diferencial
. A solução trivial
é válida porque, derivando, temos
, e substituindo na equação original:
Portanto,
é realmente uma solução.
Passo 3
Para encontrar outra solução diferente de
, vamos tentar separar as variáveis. Reescrevemos a equação:
Podemos separar as variáveis
e
:
Agora, integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é
, e do lado direito é
, onde
é a constante de integração:
Resolvendo para
:
Passo 4
Agora, aplicamos a condição inicial
para determinar a constante
:
Sabemos que
, então:
Portanto, a solução geral que passa por
é:
Usando a identidade trigonométrica
, podemos simplificar para a solução particular mais simples:
Essa �� uma solução diferente de
.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a existência de múltiplas soluções contraria o Teorema de Existência e Unicidade. O Teorema de Picard-Lindelöf afirma que, se a função
e sua derivada parcial
forem contínuas em uma região contendo o ponto inicial, então existe uma única solução para o P.V.I nesse intervalo.
No nosso caso,
. Vamos verificar a continuidade e a derivada parcial:
Observamos que
não está definida quando
, pois o denominador se torna zero. No ponto inicial
, a derivada parcial não está definida, o que significa que o Teorema de Existência e Unicidade não garante unicidade nessa situação.
Resposta
Sim, encontramos uma solução diferente de
, que é
. Isso não contradiz o Teorema de Existência e Unicidade porque as condições necessárias para a unicidade falham no ponto inicial
, já que a derivada parcial de
em relação a
não está definida nesse ponto.
Exercícios relacionados
Mostre que a solução
do P.V.I
existe e é única. Exiba a solução exata que satisfaz o PVI.
Mostre que a solução
do seguinte P.V.I tem uma única solução:
Um corpo a
é posto numa sala onde a temperatura ambiente se mantém constante. Após 10 minutos a temperatura do corpo é
e após 20 minutos
. Determine a temperatura da sala.
Um corpo a
é posto numa sala onde a temperatura ambiente se mantém constantemente
. Após 5 minutos, a temperatura do corpo caiu para
. Depois de quanto tempo o corpo estará a
? R: