Determine uma solução do P.V.I diferente de . Isso contradiz o Teorema de Existência e Unicidade de solução? Justifique.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (P.V.I) definido por:
O objetivo é encontrar uma solução para essa equação diferencial que seja diferente da solução trivial . Além disso, precisamos verificar se a existência de múltiplas soluções contraria o Teorema de Existência e Unicidade.
Conteúdo da matéria envolvido:
  • Equações diferenciais ordinárias (EDOs)
  • Problema de Valor Inicial (P.V.I)
  • Teorema de Existência e Unicidade (Teorema de Picard-Lindelöf)
Para resolver esse exercício, vamos precisar:
  • Entender como resolver a EDO dada.
  • Analisar as condições do Teorema de Existência e Unicidade para verificar se ele se aplica neste caso.

Passo 2

Comecemos encontrando soluções para a equação diferencial . A solução trivial é válida porque, derivando, temos , e substituindo na equação original:
Portanto, é realmente uma solução.

Passo 3

Para encontrar outra solução diferente de , vamos tentar separar as variáveis. Reescrevemos a equação:
Podemos separar as variáveis e :
Agora, integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é , e do lado direito é , onde é a constante de integração:
Resolvendo para :

Passo 4

Agora, aplicamos a condição inicial para determinar a constante :
Sabemos que , então:
é
Portanto, a solução geral que passa por é:
Usando a identidade trigonométrica , podemos simplificar para a solução particular mais simples:
Essa �� uma solução diferente de .

Passo 5

Agora, vamos verificar se a existência de múltiplas soluções contraria o Teorema de Existência e Unicidade. O Teorema de Picard-Lindelöf afirma que, se a função e sua derivada parcial forem contínuas em uma região contendo o ponto inicial, então existe uma única solução para o P.V.I nesse intervalo.
No nosso caso, . Vamos verificar a continuidade e a derivada parcial:
Observamos que não está definida quando , pois o denominador se torna zero. No ponto inicial , a derivada parcial não está definida, o que significa que o Teorema de Existência e Unicidade não garante unicidade nessa situação.

Resposta

Sim, encontramos uma solução diferente de , que é . Isso não contradiz o Teorema de Existência e Unicidade porque as condições necessárias para a unicidade falham no ponto inicial , já que a derivada parcial de em relação a não está definida nesse ponto.

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