9- Um corpo descreve movimento harmônico simples, conforme a equação x=50 cos (2 pi t+pi). Os valores são expressos em unidades do Sistema Internacional de Unidades. Qual é a velocidade e a aceleração no instante t=5 s ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um corpo que está fazendo um Movimento Harmônico Simples (MHS), descrito pela equação:
x = 50 cos(2pi t + pi)
Aqui, é a posição do corpo em metros (m) e é o tempo em segundos (s). Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade e a aceleração desse corpo no instante .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade do corpo. No MHS, a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Se a posição é dada por v(t) = dxdt , então a velocidade é:
Vamos calcular essa derivada.

Passo 3

A posição é:
x(t) = 50 cos(2pi t + pi)
Aplicando a derivada:
v(t) = ddt [50 cos(2pi t + pi)]
Usamos a regra da cadeia para derivar:
v(t) = -50 cdot 2pi sin(2pi t + pi)
v(t) = -100pi sin(2pi t + pi)

Passo 4

Agora, vamos encontrar a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição. Vamos derivar a(t) = dvdt :
a(t) = ddt [-100pi sin(2pi t + pi)]
a(t) = -100pi cdot 2pi cos(2pi t + pi)
Mais uma vez, aplicamos a regra da cadeia:
a(t) = -200pi^2 cos(2pi t + pi)

Passo 5

Agora que temos as expressões para v(5) = -100pi sin(2pi cdot 5 + pi) e v(5) = -100pi sin(10pi + pi) , vamos calcular seus valores no instante v(5) = -100pi sin(11pi) .
Primeiro, a velocidade:
v(5) = -100pi cdot 0
v(5) = 0 , m/s
a(5) = -200pi^2 cos(2pi cdot 5 + pi)
Sabemos que a(5) = -200pi^2 cos(10pi + pi) para qualquer inteiro a(5) = -200pi^2 cos(11pi) . Então:
a(5) = -200pi^2 cdot (-1)
a(5) = 200pi^2 , m/s^2
Agora, a aceleração:
Sabemos que . Então:

Resposta

No instante , a velocidade do corpo é 0 m/s e a aceleração é .

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