9- Um corpo descreve movimento harmônico simples, conforme a equação . Os valores são expressos em unidades do Sistema Internacional de Unidades. Qual é a velocidade e a aceleração no instante ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um corpo que está fazendo um Movimento Harmônico Simples (MHS), descrito pela equação:
Aqui, é a posição do corpo em metros (m) e é o tempo em segundos (s). Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade e a aceleração desse corpo no instante .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade do corpo. No MHS, a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Se a posição é dada por , então a velocidade é:
Vamos calcular essa derivada.

Passo 3

A posição é:
Aplicando a derivada:
Usamos a regra da cadeia para derivar:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição. Vamos derivar :
Mais uma vez, aplicamos a regra da cadeia:

Passo 5

Agora que temos as expressões para e , vamos calcular seus valores no instante .
Primeiro, a velocidade:
Sabemos que para qualquer inteiro . Então:
Agora, a aceleração:
Sabemos que . Então:

Resposta

No instante , a velocidade do corpo é 0 m/s e a aceleração é .

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a.
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c. 10 s
d.
e.
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(b) Calcule a energia total armazenada no campo elétrico da esfera. Indique detalhadamente todos os cálculos.