Uma esfera condutora de raio
encontra-se carregada com uma carga
. Responda os itens abaixo deixando claro seu raciocínio e expresse suas respostas em termos dos parâmetros
e
. (a) Calcule o campo elétrico, tanto dentro quanto fora da esfera, em função de um raio
.
(b) Calcule a energia total armazenada no campo elétrico da esfera. Indique detalhadamente todos os cálculos.
(b) Calcule a energia total armazenada no campo elétrico da esfera. Indique detalhadamente todos os cálculos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre uma esfera condutora carregada! A gente está trabalhando com Eletrostática, mais especificamente com campo elétrico e energia armazenada no campo. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico tanto dentro quanto fora da esfera e depois calcular a energia total armazenada usando a expressão da energia em termos do campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o campo elétrico fora da esfera. Como a esfera é condutora e carregada com uma carga
, toda a carga está distribuída na superfície. Para encontrar o campo elétrico fora da esfera (onde
), podemos usar a Lei de Gauss.
Passo 3
A Lei de Gauss nos diz que:
Onde
é a carga total dentro da superfície gaussiana. Para
, toda a carga
está dentro da superfície gaussiana.
Passo 4
Como a distribuição é esférica e simétrica, o campo elétrico
tem a mesma magnitude em toda a superfície gaussiana e é perpendicular a ela. Então, a integral se simplifica para:
Passo 5
Resolvendo para
:
Esse é o campo elétrico fora da esfera, válido para
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o campo elétrico dentro da esfera, ou seja, para
. Como a esfera é condutora, a carga está somente na superfície. Dentro do condutor, o campo elétrico deve ser zero para manter o equilíbrio eletrostático.
Passo 7
Portanto, para
:
Passo 8
Agora que temos o campo elétrico em todas as regiões, vamos calcular a energia total armazenada no campo elétrico da esfera. A energia
armazenada em um campo elétrico é dada por:
Passo 9
Vamos calcular a energia em duas partes: fora da esfera (
) e dentro da esfera (
). Mas, como dentro é zero, só precisamos integrar para
.
Passo 10
Substituindo
na expressão da energia:
Passo 11
Simplificando a expressão:
Passo 12
A integral de
de
até
é:
Passo 13
Substituindo de volta:
Passo 14
Simplificando os termos:
Resposta
(a) O campo elétrico
da esfera condutora carregada é dado por:
(b) A energia total armazenada no campo elétrico da esfera é: