Uma esfera condutora de raio encontra-se carregada com uma carga . Responda os itens abaixo deixando claro seu raciocínio e expresse suas respostas em termos dos parâmetros e . (a) Calcule o campo elétrico, tanto dentro quanto fora da esfera, em função de um raio .
(b) Calcule a energia total armazenada no campo elétrico da esfera. Indique detalhadamente todos os cálculos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre uma esfera condutora carregada! A gente está trabalhando com Eletrostática, mais especificamente com campo elétrico e energia armazenada no campo. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico tanto dentro quanto fora da esfera e depois calcular a energia total armazenada usando a expressão da energia em termos do campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico fora da esfera. Como a esfera é condutora e carregada com uma carga , toda a carga está distribuída na superfície. Para encontrar o campo elétrico fora da esfera (onde ), podemos usar a Lei de Gauss.

Passo 3

A Lei de Gauss nos diz que:
Onde é a carga total dentro da superfície gaussiana. Para , toda a carga está dentro da superfície gaussiana.

Passo 4

Como a distribuição é esférica e simétrica, o campo elétrico tem a mesma magnitude em toda a superfície gaussiana e é perpendicular a ela. Então, a integral se simplifica para:

Passo 5

Resolvendo para :
Esse é o campo elétrico fora da esfera, válido para .

Passo 6

Agora, vamos encontrar o campo elétrico dentro da esfera, ou seja, para . Como a esfera é condutora, a carga está somente na superfície. Dentro do condutor, o campo elétrico deve ser zero para manter o equilíbrio eletrostático.

Passo 7

Portanto, para :

Passo 8

Agora que temos o campo elétrico em todas as regiões, vamos calcular a energia total armazenada no campo elétrico da esfera. A energia armazenada em um campo elétrico é dada por:

Passo 9

Vamos calcular a energia em duas partes: fora da esfera ( ) e dentro da esfera ( ). Mas, como dentro é zero, só precisamos integrar para .

Passo 10

Substituindo na expressão da energia:

Passo 11

Simplificando a expressão:

Passo 12

A integral de de até é:

Passo 13

Substituindo de volta:

Passo 14

Simplificando os termos:

Resposta

(a) O campo elétrico da esfera condutora carregada é dado por:
(b) A energia total armazenada no campo elétrico da esfera é:

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