Um corpo descreve um movimento, num plano vertical, no interior de uma superfície esférica de raio igual a 2,5 m. Adote g=10 m / s^2. Determine a mínima velocidade que o corpo deve ter para não perder contato com a superfície esférica.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corpo que está se movendo dentro de uma superfície esférica com raio de 2,5 m, no plano vertical. A gente precisa descobrir qual é a velocidade mínima que esse corpo deve ter para não perder o contato com a superfície da esfera. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular e forças envolvidas nesse tipo de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Quando o corpo está se movendo na trajetória circular, ele está sujeito a duas forças principais:
  1. Força da gravidade ( mg): Puxa o corpo para baixo.
  2. Força normal ( N): É a força que a superfície da esfera exerce sobre o corpo, perpendicular à superfície.
Para o corpo não perder o contato com a esfera, a força normal ( N) precisa ser pelo menos zero. Na velocidade mínima, N = 0.

Passo 3

No ponto mais alto da trajetória, as duas forças ( mg e N) estão dirigidas para o centro da esfera. A força resultante que mantém o corpo na trajetória circular é a soma dessas forças:
mg + N = mv^2r
Como estamos buscando a velocidade mínima, N = 0, então fica:
mg = mv^2r

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa equação. Podemos dividir ambos os lados por m (a massa do corpo), que não é zero:
g = v^2r
Queremos encontrar a velocidade mínima v, então isolamos v^2:
v^2 = g cdot r

Passo 5

Por fim, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar v:
v = raizg cdot r
Agora, é só substituir os valores dados na questão:
  • g = 10 m/s^2
  • r = 2,5 m

Passo 6

Substituindo os valores:
v = raiz10 cdot 2,5 = raiz25 = 5 m/s

Resposta

A velocidade mínima que o corpo deve ter para não perder contato com a superfície esférica é 5 metros por segundo.

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