Um corpo desliza para baixo por um plano inclinado áspero, que forma um ângulo de 30^circ com a horizontal. Se 70 % da energia potencial inicial é dissipada durante a descida, determine o coeficiente de atrito de deslizamento.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corpo que desliza por um plano inclinado que faz um ângulo de com a horizontal. Durante a descida, da energia potencial inicial é dissipada, ou seja, perdida devido ao atrito. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o coeficiente de atrito de deslizamento ( ) desse plano.
Para resolver isso, vamos precisar das seguintes ideias:
  • Energia potencial gravitacional
  • Trabalho realizado pela força de atrito
  • Relação entre força normal, força de atrito e coeficiente de atrito

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia potencial inicial ( U = mgh ) do corpo no topo do plano inclinado. A energia potencial gravitacional é dada por:
h = d cdot sin(theta)
onde:
  • é a massa do corpo,
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura do plano inclinado.
Aqui, pode ser relacionado ao comprimento do plano inclinado ( ) e ao ângulo ( ) pela relação trigonométrica:

Passo 3

Sabemos que Wf = 0,7 cdot U da energia potencial é dissipada pelo atrito. Então, o trabalho realizado pela força de atrito ( Wf = 0,7 cdot mgh = 0,7 cdot mgd cdot sin(theta) ) é:
Substituindo pela expressão anterior:

Passo 4

O trabalho realizado pela força de atrito também pode ser expresso como:
Wf = fk cdot d
onde fk = muk cdot N é a força de atrito de deslizamento. Sabemos que:
N = mg cdot cos(theta)
A força normal ( fk = muk cdot mg cdot cos(theta) ) em um plano inclinado é:
Wf = muk cdot mg cdot cos(theta) cdot d
Então, substituindo na expressão de :
Portanto, o trabalho pelo atrito fica:

Passo 5

Agora, igualamos as duas expressões para 0,7 cdot mgd cdot sin(theta) = muk cdot mg cdot cos(theta) cdot d :
0,7 cdot sin(theta) = muk cdot cos(theta)
Podemos cancelar dos dois lados da equação:

Passo 6

Isolando muk = 0,7 cdot sin(theta)cos(theta) = 0,7 cdot tan(theta) :
muk = 0,7 cdot tan(30^circ) approx 0,7 cdot 0,577 approx 0,404
Substituindo :

Resposta

O coeficiente de atrito de deslizamento é aproximadamente .

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